Question

13．（1）閱讀：若一個三角形的三邊長分別為a、b、c，設(shè)$p=\frac{1}{2}（{a+b+c}）$，則這個三角形的面積為$s=\sqrt{p（{p-a}）（{p-b}）（{p-c}）}$．
（2）應(yīng)用：如圖1，在△ABC中，AB=6，AC=5，BC=4，求△ABC面積．
（3）引申：如圖2，在（2）的條件下，AD、BE分別為△ABC的角平分線，它們的交點(diǎn)為I，求：I到AB的距離．

Answer 1

分析 （2）先根據(jù)三邊長度求出p的值，再代入公式計算可得；
（3）過點(diǎn)I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，由角平分線性質(zhì)可得IF=IH=IG，再根據(jù)S_△ABC=S_△ABI+S_△ACI+S_△BCI即可求得IF的長．

解答 解：（1）如圖：

在△ABC中，過A作高AD交BC于D，
設(shè)BD=x，那么DC=a-x，
由于AD是△ABD、△ACD的公共邊h²=c²-x²=b²-（a-x）²，
解出x得x=$\sqrt{\frac{{c}^{2}-^{2}+{a}^{2}}{2a}}$，
于是h=$\sqrt{{c}^{2}-（\frac{{c}^{2}-^{2}+{a}^{2}}{2a}）^{2}}$，
△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$ah=$\frac{1}{2}$a$\sqrt{{c}^{2}-（\frac{{c}^{2}-^{2}+{a}^{2}}{2a}）^{2}}$
即S=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{c}^{2}{a}^{2}-（\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-^{2}}{2}}）^{2}$，
令p=$\frac{1}{2}$（a+b+c），
對被開方數(shù)分解因式，并整理得到$s=\sqrt{p（{p-a}）（{p-b}）（{p-c}）}$；

（2）由題意，得：a=4，b=5，c=6；
∴p=$\frac{a+b+c}{2}$=$\frac{15}{2}$；
∴S=$\sqrt{\frac{15}{2}×（\frac{15}{2}-4）×（\frac{15}{2}-5）×（\frac{15}{2}-6）}$=$\sqrt{\frac{15}{2}×\frac{7}{2}×\frac{5}{2}×\frac{3}{2}}$=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$，
故△ABC的面積是$\frac{15\sqrt{7}}{4}$；

（3）如圖，過點(diǎn)I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分別為點(diǎn)F、G、H，

∵AD、BE分別為△ABC的角平分線，
∴IF=IH=IG，
∵S_△ABC=S_△ABI+S_△ACI+S_△BCI，
即$\frac{{15\sqrt{7}}}{4}$=$\frac{1}{2}$×6•IF+$\frac{1}{2}$×5•IG+$\frac{1}{2}$×4•IH，
∴3•IF+$\frac{5}{2}$•IF+2•IF=$\frac{{15\sqrt{7}}}{4}$，
解得IF=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
故I到AB的距離為$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角形面積的計算和角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．