Question

（2013•大興區(qū)二模）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=

3

，AD=3，BC=4，以點D為旋轉(zhuǎn)中心，將腰DC逆時針旋轉(zhuǎn)α至DE．
（1）當α=90°時，連結(jié)AE，則△EAD的面積等于

3

2

（直接寫出結(jié)果）；
（2）當0°＜α＜180°時，連結(jié)BE，請問BE能否取得最大值？若能，請求出BE的最大值；若不能，請說明理由；
（3）當0°＜α＜180°時，連結(jié)CE，請問α為多少度時，△CDE的面積是

3

．

Answer 1

分析：（1）作DH⊥BC于H，EG⊥AD交AD的延長線于G，則易得DH=AB=

3

，BH=AD=3，可計算出HC=1，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到EG=HC=1，然后根據(jù)三角形面積公式計算；
（2）根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊得到當B、D、E三點共線時，BE最大，然后利用勾股定理分別計算出DC、BD即可；
（3）討論：當α為銳角時，過E點作EF⊥DC于F，利用三角形面積公式可計算出EF，然后根據(jù)正弦的定義得到sin∠EDF=

EF

DE

=

3

2

，則∠EDF=60°，則α=60°；
當α為鈍角時，過E點作EF⊥DC交CD的延長線于F點，同樣可得到∠EDF=60°，則可得到α為120°．

解答：解：（1）作DH⊥BC于H，EG⊥AD交AD的延長線于G，如圖1，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴四邊形ABHD為矩形，
∴DH=AB=

3

，BH=AD=3，
∴HC=BC-BH=4-3=1，
∵以點D為旋轉(zhuǎn)中心，將腰DC逆時針旋轉(zhuǎn)90°至DE，即把Rt△DHC逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△DGE，
∴EG=HC=1，
∴S_△EAD=

1

2

AD•EG=

1

2

×3×1=

3

2

．

（2）BE能取得最大值，當B、D、E三點共線時，BE最大．
如圖2，在Rt△DHC中，DH=

3

，HC=1，
∴DC=

DH2+HC2

=2，
∴DE=2，
在Rt△DBH中，BH=3，DH=

3

，
∴BD=

BH2+DH2

=2

3

，
∴BE=BD+DE=2

3

+2；

（3）當α為銳角時，過E點作EF⊥DC于F，如圖3，
∵DC=DE=2，
∴S_△CDE=

1

2

×2•EF=

3

，
∴EF=

3

，
∴sin∠EDF=

EF

DE

=

3

2

，
∴∠EDF=60°，
∴α=60°，
當α為鈍角時，過E點作EF⊥DC交CD的延長線于F點，如圖4，
同樣可得到∠EDF=60°，
∴α=180°-60°=120°，
∴α為60度或120度時，△CDE的面積是

3

．
故答案為

3

2

．

點評：本題考查了四邊形的綜合題：直角梯形的問題常常轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形解決；會利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到相等的角與邊；熟練運用勾股定理和銳角三角函數(shù)進行幾何計算．