Question

如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=120°，AB=AD=2，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PC的最小值是（　�。�

• A、2
• B、2

  2

• C、2

  3

• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,等腰梯形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，得出BC的長(zhǎng)度，作出E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E′，轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度的問題，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)判斷出△ABE′為等邊三角形，利用勾股定理即可求出CE′的長(zhǎng)．

解答：解：過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，連接AE，AC交BD于點(diǎn)P，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=120°，AB=AD=2，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴∠ABC=60°，
∴∠BAF=30°，
∴BF=

1

2

AB=1，AF=

22-12

=

3

，F(xiàn)C=3，
同理可得出：BC=AD+2=4，
∵BD是∠ABC的平分線．
作E關(guān)BD的對(duì)稱點(diǎn)E′與A點(diǎn)重合，
則PE=PE′，
此時(shí)，PE+PC=PE′+PC=CE′，
CE′即為PE+PC的最小值．
∵∠ABC=60°，
又∵BE′=BE，
∴△E′BE為正三角形，EE′=2，∠ABE=60°，
故EE′=EC，
∠EE′C=∠ECE′=30°，
∴∠BE′C=60°+30°=90°，
在Rt△BCE′中，
CE′=

( 3 )2+32

=2

3

．
故選；C．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了軸對(duì)稱---最短路徑問題，內(nèi)容涉及等腰梯形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定及勾股定理，綜合性較強(qiáng)．