Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的兩個(gè)根，且拋物線的對稱軸是直線x=-2．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）連接AC、BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值？若存在，請求出S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）解方程x²-10x+16=0得其兩根為x₁=2，x₂=8，根據(jù)題意可寫出B（2，0）、C（0，8），由拋物線的對稱性可得點(diǎn)A的坐標(biāo)；把A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求得拋物線的解析式．
（2）設(shè)BE邊上的高為h，先求得△BEF∽△BAC，然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)“對應(yīng)高的比等于相似比”，可得：BE邊上的高：BA邊上的高=BE：BA，求得h=8-m．最后依據(jù)S=S_△CEF=S_△ABC-S_△ACE-S_△BEF　即可求得．
（3）把（1）中求得的解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，即可求得S的最大值和此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)，從而判斷出OC⊥EB且平分EB，即可求得△BCE為等腰三角形．

解答： 解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8，
∵點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且OB＜OC，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8），
又∵拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是直線x=-2，
∴由拋物線的對稱性可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0），
∴A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8）．
∵點(diǎn)C（0，8）在拋物線y=ax²+bx+c的圖象上，
∴c=8，
將A（-6，0）、B（2，0）代入表達(dá)式y(tǒng)=ax²+bx+8，得

a=- 2 3 b=- 8 3

，
∴所求拋物線的表達(dá)式為y=-

2

3

x²-

8

3

x+8．

（2）如圖，依題意，AE=m，則BE=8-m．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
設(shè)BE邊上的高為h，
由相似三角形的性質(zhì)“對應(yīng)高的比等于相似比”，
得：BE邊上的高：BA邊上的高=BE：BA，
即h：OC=BE：BA，
∴h：8=（8-m）：8，
∴h=8-m．
∴S=S_△CEF=S_△ABC-S_△ACE-S_△BEF，
=

1

2

×8×8-

1

2

×8m-

1

2

（8-m）²，
化簡整理得S=-

1

2

m²+4m　（0＜m＜8）；

（3）存在最大值．
∵S=-

1

2

m²+4m
=-

1

2

（m²-8m+4²-4²）=-

1

2

（m-4）²+8，
∵-

1

2

＜0，
∴當(dāng)m=4時(shí)，S有最大值8，
S_最大值=8．
∵m=4，
∴AE=4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（-2，0），
∵B（2，0），
∴OC⊥EB且平分EB，
∴△BCE為等腰三角形．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程的解法以及拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，待定系數(shù)法求解析式，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形面積的應(yīng)用以及函數(shù)的最值問題．