【題目】在△ABC中,BA=BC,∠ABC=α(0°<α<180°),點P為直線BC上一動點(不與點B,C重合),連接AP,將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)α度得到線段PQ,連接CQ.

(1)當α=90°,且點P在線段BC上時,過P作PF∥AC交直線AB于點F,如圖1,圖中與△APF全等的是哪個三角形,∠ACQ的度數(shù)

(2)當點P在BC延長線上,AB:AC=m:n時,如圖2,試求線段BP與CQ的比值;

(3)當點P在直線BC上,α=60°,∠APB=30°,CP=4時,請直接寫出線段CQ的長.

【答案】(1)△PQC,90;(2);(3)線段CQ的長為2或8.

【解析】

(1)依據(jù)條件判定△APF≌△PQC,可得∠PCQ=∠AFP=135°,依據(jù)∠ACB=45°,可得∠ACQ=90°;

(2)過PPFAC,交BA的延長線于F,判定△AFP≌△PCQ,可得FPCQ,再根據(jù)△ABC∽△FBP,可得,進而得出 ;

(3)分兩種情況進行討論:點PCB的延長線上,點PBC的延長線上,分別依據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì),即可得到線段CQ的長.

(1)如圖①,∵∠ABC=90°,AB=CB,

∴△ABC是等腰直角三角形,

∵PF∥AC,

∴∠BPF=∠BFP=45°,

∴△BPF是等腰直角三角形,

∴BF=BP,

∴AF=CP,

由旋轉(zhuǎn)可得,AP=PQ,∠APQ=90°,而∠BPF=45°,

∴∠QPC=45°﹣∠APF,

又∵∠PAF=∠PFB﹣∠APF=45°﹣∠APF,

∴∠PAF=∠QPC,

∴△APF≌△PQC(SAS)

∴∠PCQ=∠AFP=135°,

又∵∠ACB=45°,

∴∠ACQ=90°,

故答案為:△PQC,90;

(2)如圖,過P作PF∥AC,交BA的延長線于F,則

又∵AB=BC,

∴AF=CP,

又∵∠FAP=∠ABC+∠APB=α+∠APB,∠CPQ=∠APQ+∠APB=α+∠APB,

∴∠FAP=∠CPQ,

由旋轉(zhuǎn)可得,PA=PQ,

∴△AFP≌△PCQ(SAS),

∴FP=CQ,

∵PF∥AC,

∴△ABC∽△FBP,

;

(3)如圖,當P在CB的延長線上時,

∵∠CPQ=∠APQ﹣∠APB=60°﹣30°=30°,

∴∠APC=∠QPC,

又∵AP=QP,PC=PC,

∴△APC≌△QPC(SAS),

∴CQ=AC,

又∵BA=BC,∠ABC=60°,

∴△ABC是等邊三角形,

∴∠ABC=60°,∠BAP=∠ABC﹣∠APB=30°,

∴BP=AB=BC=PC=2,

∴QC=AC=BC=2;

如圖,當P在BC的延長線上時,連接AQ,

由旋轉(zhuǎn)可得,AP=QP,∠APQ=∠ABC=60°,

∴△APQ是等邊三角形,

∴AQ=PQ,∠APQ=60°=∠AQP,

又∵∠APB=30°,∠ACB=60°,

∴∠CAP=30°,∠CPQ=90°,

∴∠CAP=∠APA,

∴AC=PC,且AQ=PQ,CQ=CQ

∴△ACQ△PCQ(SSS)

∴∠AQC=∠PQC=∠AQP=30°,

∴Rt△PCQ中,CQ=2CP=8.

綜上所述,線段CQ的長為2或8.

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