已知:拋物線y=ax2+bx+c經過A(1,0)、B(5,0)兩點,最高點的縱坐標為4,與y軸交于點C.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若△ABC的外接圓⊙O′交y軸不同于點c的點D′,⊙O′的弦DE平行于x軸,求直線CE的解析式;
(3)在x軸上是否存在點F,使△OCF與△CDE相似?若存在,求出所有符合條件的點F的坐標,并判定直線CF與⊙O’的位置關系(要求寫出判斷根據);若不存在,請說明理由.
分析:(1)根據A、B兩點的坐標即可得出拋物線的對稱軸解析式,也就可得出拋物線頂點的坐標,然后根據頂點、A、B這三個點的坐標即可求出的拋物線的解析式.
(2)本題的關鍵是求出E點的坐標,根據圓的對稱性可知,D與E關于拋物線的對稱軸對稱.因此只需求出D點的坐標即可得出E點的坐標,那么首先要求出OD的長,已知了OA、OB、OC的長,可根據切割線定理求出OD的長,進而可得出D、E點的坐標,然后可根據C、E的坐標用待定系數法求出直線CE的函數解析式.
(3)求F點的坐標要分類進行討論:
①當∠CED=∠CFO,即△CDE∽△COF,由于DE∥x軸,因此直線CE與x軸的交點就滿足F點的條件,設此點為F1,F1關于y軸的對稱點F2也符合這樣的條件.
②當∠CFO=∠DCE時,即△CDE∽△FOC,可根據相似三角形得出的對應成比例線段求出OF的長,即可得出F點的坐標.(同①一樣y軸左右各有一個符合條件的F點)
如圖:可過O′作CF3的垂線設垂足為H,由于∠HCO′是銳角,因此O′H<O′C,所以CF3與圓O′的相交,同理可得出CF1,DF4也與圓O′相交.由于∠F4CO=∠CED,而∠CED+∠DCE=90°,那么∠F4CE=90°,因此只要CF4與圓O′相切,CF1,CF2,CF3都與圓相交.
解答:(1)解:由對稱性可知拋物線的最高點的橫坐標是3,所以拋物線的最高點坐標為(3,4)
∴
| a+b+c=0 | 25a+5b+c=0 | 9a+3b+c=4 |
| |
解得
.
所以拋物線解析式為y=-x
2+6x-5.
(2)如圖,∵C(0,-5),
∴OC=5,
∵OA•OB=OD•OC,
∴1×5=OD×5
∴OD=1
∵直線x=3垂直平分DE,
∴DE=6.
∵DE∥x軸,
∴E(6,-1)
設直線CE的解析式為y=kx+b.
∴
解得
故直線CE解析式為y=
x-5.
(3)假設存在點F,使△CDE與△COF相似.
∵DE∥AB,
∴∠CDE=90°
∵∠COF=90°
∵∠CDE=∠COF∴△DCE∽△COF或△CDE∽△FOC
當△CDE∽△COF時,
=
,所以OF=
.
當△CDE∽△FOC時,
=
,所以OF=
.
所以存在點F,使△CDE與△COF相似.其坐標為F
1(
,0),F
2(-
,0)
F
3(
,0),F
4(-
,0)
∵∠OCF
4=∠CED,
∴∠ECF
4=90°
所以直線CF
4與⊙O'相切
∵∠CDE=90°
∴直線CF
1經過圓心O′,
∴直線CF
1與⊙O'相交,
∴點F
3在線段OB上
∴∠F
3CE為銳角,做OH'⊥CF
3,垂足為H,所以O′H<O′C.
∴直線CF
3與⊙O′相交,同理直線CF
2與⊙O′相交.
故直線CF
4與⊙O′相切,直線CF
1、CF
2、CF
3都與⊙O′相交.
點評:本題主要考查了一次函數與二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質、直線與圓的位置關系等知識點.