【題目】如圖甲,在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P,且PA=2,PB=,PC=1,求∠BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長.
解題思路是:將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°,如圖乙所示,連接PP′.
(1)△P′PB是 三角形,△PP′A是 三角形,∠BPC= °;
(2)利用△BPC可以求出△ABC的邊長為 .
如圖丙,在正方形ABCD內(nèi)有一點P,且PA=,BP=,PC=1;
(3)求∠BPC度數(shù)的大。
(4)求正方形ABCD的邊長.
【答案】(1)等邊 直角 150°;(2);(3)135°;(4) .
【解析】
(1)將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形(如圖2),連接PP′,可得△P′PB是等邊三角形,而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可證),所以∠AP′B=150°,而∠BPC=∠AP′B=150°,
(2)過點B作BM⊥AP′,交AP′的延長線于點M,進而求出等邊△ABC的邊長為 ,問題得到解決.
(3)求出,根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°,推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°;
(4)過點B作BF⊥AE,交AE的延長線于點F,求出FE=BF=1,AF=2,關(guān)鍵勾股定理即可求出AB.
解:(1)∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=60°,
將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得出△ABP′,
∴
∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°,
∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°,
∴△BPP′是等邊三角形,
∴
∵AP′=1,AP=2,
∴AP′2+PP′2=AP2,
∴∠AP′P=90°,則△PP′A是 直角三角形;
∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°;
(2)過點B作BM⊥AP′,交AP′的延長線于點M,
∴
由勾股定理得:
∴
由勾股定理得:
故答案為:(1)等邊;直角;150;;
(3)將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEB,
與(1)類似:可得:AE=PC=1,BE=BP=,∠BPC=∠AEB,∠ABE=∠PBC,
∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°,
∴,
由勾股定理得:EP=2,
∵
∴AE2+PE2=AP2,
∴∠AEP=90°,
∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°;
(4)過點B作BF⊥AE,交AE的延長線于點F;
∴∠FEB=45°,
∴FE=BF=1,
∴AF=2;
∴在Rt△ABF中,由勾股定理,得AB=;
∴∠BPC=135°,正方形邊長為.
答:(3)∠BPC的度數(shù)是135°;
(4)正方形ABCD的邊長是.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某股民上星期五買進某公司股票1000股,每股27元,下表為本周內(nèi)每日該股票的漲跌情況(單位:元)(周六、周日休盤)
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 |
每股 漲跌 | +4 | +4.5 | -1 | -1.5 | -4 |
(1)星期五收盤時,每股是多少元?
(2)本周內(nèi)最高價是每股多少元?最低價是每股多少元?
(3)已知該股民買進股票時付了0.15%的手續(xù)費,賣出時需付成交額0.15%的手續(xù)費和0.1%的交易稅,若該股民在星期五收盤前將全部股票賣出,他的收益情況如何?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長均為1的小正方形網(wǎng)格紙中,△OAB的頂點O,A,B均在格點上,且O是直角坐標系的原點,點A在x軸上.
(1)以O為位似中心,將△OAB放大,使得放大后的△OA1B1,與△OAB對應(yīng)線段的比為2:1,畫出△OA1B1,(所畫△OA1B1與△OAB在原點兩側(cè));
(2)直接寫出點A1、B1的坐標_____;
(3)直接寫出tan∠OA1B1.
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【題目】規(guī)定:求若干個相同的有理數(shù)(均不等于0)的除法運算叫做除方,如,等,類比有理數(shù)的乘方,我們把記作,讀作“2的圈3次方”,把記作,讀作“的圈4次方”,一般地,把記作,讀作“的圈次方”,關(guān)于除方,下列說法錯誤的是( )
A.任何非零數(shù)的圈2次方都等于1
B.對于任何正整數(shù),
C.
D.負數(shù)的圈奇次方結(jié)果是負數(shù),負數(shù)的圈偶次方結(jié)果是正數(shù).
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【題目】有這樣一道題“計算:(2m4-4m3n-2m2n2)-(m4-2m2n2)+(-m4+4m3n-n3)的值,其中,n=-1.”小強不小心把錯抄成了,但他的計算結(jié)果卻也是正確的,你能說出這是為什么嗎?
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【題目】如圖,已知ABCD中,AE⊥BC于點E,以點B為中心,取旋轉(zhuǎn)角等于∠ABC,把△BAE順時針旋轉(zhuǎn),得到△BA′E′,連接DA′.若∠ADC=60°,∠ADA′=50°,則∠DA′E′的大小為( )
A. 130° B. 150° C. 160° D. 170°
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【題目】在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)角α(0°<α<90°)得△A1BC1,A1B交AC于點E,A1C1分別交AC、BC于D、F兩點.
(1)如圖1,觀察并猜想,在旋轉(zhuǎn)過程中,線段BE與BF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論;
(2)如圖2,當α=30°時,試判斷四邊形BC1DA的形狀,并說明理由.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD//BC, ,BC=4,DC=3,AD=6.動點P從點D出發(fā),沿射線DA的方向,在射線DA上以每秒2兩個單位長的速度運動,動點Q從點C出發(fā),在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動,點P、Q分別從點D,C同時出發(fā),當點Q運動到點B時,點P隨之停止運動.設(shè)運動的時間為t(秒).
(1)設(shè)的面積為,直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式是____________(不寫取值范圍).
(2)當B,P,Q三點為頂點的三角形是等腰三角形時,求出此時的值.
(3)當線段PQ與線段AB相交于點O,且2OA=OB時,直接寫出=_____________.
(4)是否存在時刻,使得若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校舉行全體學(xué)生“漢字聽寫”比賽,每位學(xué)生聽寫漢字39個.隨機抽取了部分學(xué)生的聽寫結(jié)果,繪制成如下的圖表.
根據(jù)以上信息完成下列問題:
(1)統(tǒng)計表中的m= ,n= ,并補全條形統(tǒng)計圖;
(2)扇形統(tǒng)計圖中“C組”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是 ;
(3)已知該校共有900名學(xué)生,如果聽寫正確的字的個數(shù)少于24個定為不合格,請你估計該校本次聽寫比賽不合格的學(xué)生人數(shù).
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