【題目】 (2016福建南平第16題)如圖,等腰ABC中,CA=CB=4,ACB=120°,點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)(不與A、B重合),將CAD與CBD分別沿直線CA、CB翻折得到CAP與CBQ,給出下列結(jié)論:

①CD=CP=CQ;

PCQ的大小不變;

PCQ面積的最小值為;

④當(dāng)點(diǎn)D在AB的中點(diǎn)時(shí),PDQ是等邊三角形,其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

【答案】①②④.

【解析】

試題分析:①CAD與CBD分別沿直線CA、CB翻折得到CAP與CBQ,CP=CD=CQ,①正確;

CAD與CBD分別沿直線CA、CB翻折得到CAP與CBQ,∴∠ACP=ACD,BCQ=BCD,∴∠ACP+BCQ=ACD+BCD=ACB=120°,∴∠PCQ=360°﹣(ACP+BCQ+ACB)=360°﹣(120°+120°)=120°,∴∠PCQ的大小不變;②正確;

③如圖,過(guò)點(diǎn)Q作QEPC交PC延長(zhǎng)線于E,∵∠PCQ=120°,∴∠QCE=60°,在RtQCE中,tanQCE=,QE=CQ×tanQCE=CQ×tan60°=CQ,CP=CD=CQ,S△PCQ=CP×QE=CP×CQ=CD最短時(shí),S△PCQ最小,即:CDAB時(shí),CD最短,過(guò)點(diǎn)C作CFAB,此時(shí)CF就是最短的CD,AC=BC=4,ACB=120°,∴∠ABC=30°,CF=BC=2,即:CD最短為2,S△PCQ最小===③錯(cuò)誤;

CAD與CBD分別沿直線CA、CB翻折得到CAP與CBQ,AD=AP,DAC=PAC,∵∠DAC=30°,∴∠APD=60°,∴△APD是等邊三角形,PD=AD,ADP=60°,同理:BDQ是等邊三角形,DQ=BD,BDQ=60°,∴∠PDQ=60°,當(dāng)點(diǎn)D在AB的中點(diǎn),AD=BD,PD=DQ,∴△DPQ是等邊三角形,④正確,故答案為:①②④.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
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(1)求直線L2的解析表達(dá)式;
(2)求△ADC的面積;
(3)在直線L2上存在異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P,使得△ADP與△ADC的面積相等,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

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②探究AMN的形狀;

(2)如圖②,若菱形ABCD變?yōu)檎叫蜛BCD,將射線AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,原題其他條件不變,(1)中的①、②兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)直接寫出結(jié)論;若不成立,請(qǐng)寫出變化后的結(jié)論并證明.

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