Question

10．如圖1，E、F分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點，且AB=2，若將△AEF繞點A逆時針旋轉一周，在旋轉過程中直線BE、DF相交于點P．
（1）在△AEF繞點A逆時針旋轉過程中，線段BE、DF有怎樣的數(shù)量關系和位置關系，并就圖2的位置加以說明；
（2）在△AEF繞點A逆時針旋轉過程中，線段PA的長度是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；
（3）求當△AEF繞點A從起始位置旋轉一周回到終止位置過程中，點P運動的路徑長．

Answer 1

分析 （1）由旋轉得到∠BAE=∠DAF，AB=AD，AE=AF，判斷出△ABE≌△ADF，再利用互余判斷出垂直．
（2）利用直角三角形的性質(zhì)求出PH，AH，再得到最大PA，
（3）先判斷出P在以O圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓上，再計算即可．

解答 解：（1）BE=DF，BE⊥DF，如圖1，

在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
∵∠ABE+∠AGB=90°，
∴∠ADF+∠PGD=90°，
∴∠DPG=90°，
∴BE⊥DF；
（2）如圖1，

取EF中點，連接PH，AH，
∵∠EAF=∠FPE=90°，
∴PH=AH=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴點P，H，A三點共線時，PA最長為$\sqrt{2}$．
（3）連接BD，取BD中點O，連接OP，OA，如圖2，

∵∠BAD=∠BPD=90°，
∴OP=OA=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，
∴P在以O圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓上，
當PA取最大時，PA=OP=OA=$\sqrt{2}$，
點P運動的路徑是以O為圓心，以$\sqrt{2}$為半徑圓心角是60°的弧的位置，再返回到點A，從另一方向繼續(xù)以點O為圓心以$\sqrt{2}$為半徑旋轉60°的弧的位置，再返回，即：4段以點O為圓心，$\sqrt{2}$為半徑圓心角是60°的弧的弧長，
∴點P運動的路徑長為4×$\frac{\sqrt{2}}{3}$π=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$π．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，解本題的關鍵是作出輔助線．