Question

20．如圖，點(diǎn)P是拋物線y=-x²+4的頂點(diǎn)，將拋物線平移，平移后的拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)）頂點(diǎn)Q落在第一象限內(nèi)，且△ABQ是等邊三角形，直線PQ與x軸交于點(diǎn)C，若PQ=$\sqrt{3}$，則BC=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 將拋物線y=-x²+4向下平移，頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)為N、G，當(dāng)△MNG是等邊三角形時，設(shè)M（0，m），首先求出m，再根據(jù)勾股定理求出PQ，推出點(diǎn)Q坐標(biāo)，求出直線PQ的解析式，求出點(diǎn)C、B坐標(biāo)即可解決問題．

解答 解：將拋物線y=-x²+4向下平移，頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)為N、G，當(dāng)△MNG是等邊三角形時，設(shè)M（0，m），
則點(diǎn)G（$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，0）代入y=-x²+4得到，m=3或0（舍棄），
∴點(diǎn)M坐標(biāo)（0，3），
∵△QAB是等邊三角形，
∴MQ∥x軸，
在RT△PQM中，∵∠PMQ=90°，PM=1，PQ=$\sqrt{3}$，
∴MQ=$\sqrt{P{Q}^{2}-P{M}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)（$\sqrt{2}$，3），
設(shè)直線PQ為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{\sqrt{2}k+b=3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線PQ為y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+4，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（4$\sqrt{2}$，0），
∵點(diǎn)G坐標(biāo)（$\sqrt{3}$，0），
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，0），
∴BC=4$\sqrt{2}$-（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$．
故答案為3$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線與x軸交點(diǎn)問題、等邊三角形的性質(zhì)、一次函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是將拋物線y=-x²+4向下平移，頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)為N、G，當(dāng)△MNG是等邊三角形時，求出點(diǎn)M坐標(biāo)這個突破口，屬于中考常考題型．