Question

如圖，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，△A′B′C′和△A″B″C″關(guān)于直線EF對稱．
（1）畫出直線EF．
（2）設(shè)直線MN與EF相交于點(diǎn)O，求∠COC″與直線MN，EF所夾銳角α的數(shù)量關(guān)系．
（3）證明：點(diǎn)O是△C′C″C三邊垂直平分線的交點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖-軸對稱變換

專題：

分析：（1）作出線段B′B″和線段C′C″的垂直平分線進(jìn)而得出直線EF；
（2）利用關(guān)于直線對稱的性質(zhì)得出∠COM=∠MOC′，∠C′OE=∠C″OE，進(jìn)而得出∠COC″與直線MN，EF所夾銳角α的數(shù)量關(guān)系；
（3）利用垂直平分線的性質(zhì)與判定得出答案．

解答：（1）解：如圖所示：直線EF即為所求；

（2）解：連接CO，C′O，C″O，CC′，C″C′
∵△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，△A′B′C′和△A″B″C″關(guān)于直線EF對稱，
∴∠COM=∠MOC′，∠C′OE=∠C″OE，
∴∠COC″=2（∠MOC′+∠C″OC′），
∴∠COC″是直線MN，EF所夾銳角α的2倍；

（3）證明：∵由題意可得：直線MN垂直平分CC′，直線EF垂直平分C″C′，直線MN與EF相交于點(diǎn)O，
∴CO=OC′=OC″，
∴點(diǎn)O是△C′C″C三邊垂直平分線的交點(diǎn)．

點(diǎn)評：此題主要考查了軸對稱變換以及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．