Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，點E、F分別是邊BC與AC的中點，P是AB上一點，以PF為一直角邊作等腰直角△PFQ，且∠FPQ=90°，若AB=8，PB=1，則QE=

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：取AB中點D，連接FD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，由△ABC為等腰直角三角形得到AC=BC=4

2

，∠A=45°，再根據(jù)點D、E、F分別是△ABC三邊的中點，則AD=BD=4，DP=3，EF為△ABC的中位線，于是可判斷△ADF為等腰直角三角形，得到∠FDA=45°，利用三角形中位線的性質(zhì)得EF∥AB，EF=

1

2

AB=4，根據(jù)平行線性質(zhì)得∠EFP+∠DFP=45°；又由于△PQF為等腰直角三角形，則∠EFP+∠EFQ=45°，所以∠DFP=∠EFQ，然后根據(jù)有兩組對應邊成比例且夾角相等的三角形相似，得出△FDP∽△FEQ，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例即可求得．

解答：解：連結(jié)FD，D是AB的中點，如圖，
∵△ABC為等腰直角三角形，AB=8，PB=1，
∴AC=BC=4

2

，∠A=45°，
∵點D、E、F分別是△ABC三邊的中點，AB=8，PB=1，
∴AD=BD=4，DP=DB-PB=4-1=3，EF、DF為△ABC的中位線，
∴EF∥AB，EF=

1

2

AB=4，DF=

1

2

BC=2

2

，∠EFP=∠FPD，
∴∠FDA=45°，

DF

EF

=

2

2

∴∠DFP+∠DPF=45°，
∵△PQF為等腰直角三角形，
∴∠PFE+∠EFQ=45°，F(xiàn)P=FQ，
∴∠DFP=∠EFQ，
∵△PFQ是等腰直角三角形，
∴

PF

FQ

=

2

2

，
∴

DF

EF

=

PF

FQ

，
∴△FDP∽△FEQ，
∴

QE

DP

=

EF

FD

=

2

，
∴QE=

2

•DP=3

2

故答案為：3

2

．

點評：本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，相似三角形的對應邊成比例，也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．