Question

【題目】已知，矩形中，，的垂直平分線分別交于點(diǎn)，垂足為．

（1）如圖1，連接，求證：四邊形為菱形；

（2）如圖2，動(dòng)點(diǎn)分別從兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿和各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周，即點(diǎn)自停止，點(diǎn)自停止．在運(yùn)動(dòng)過程中，

①已知點(diǎn)的速度為每秒，點(diǎn)的速度為每秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，則____________．

②若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程分別為 （單位:），已知四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則與滿足的數(shù)量關(guān)系式為____________．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②

【解析】

(1)先證明四邊形AFCE為平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；
(2)①分情況討論可知，當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可；
②分三種情況討論可知a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式.

（1）證明：∵四邊形是矩形，

∴

∴，

∵垂直平分，垂足為，

∴，

∴，

∴，

∴四邊形為平行四邊形，

又∵

∴四邊形為菱形，

（2）①秒．

顯然當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，點(diǎn)在上，此時(shí)四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；同理點(diǎn)在上時(shí)，點(diǎn)在或上，也不能構(gòu)成平行四邊形．因此只有當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形．

∴以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，

∴點(diǎn)的速度為每秒，點(diǎn)的速度為每秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，

∴，

∴，解得

∴以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，秒．

②與滿足的數(shù)量關(guān)系式是，

由題意得，以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，

點(diǎn)在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上，分三種情況：

i）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí)，，即，得．

ii）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí)，，即，得．

iii）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí)，，即，得．

綜上所述，與滿足的數(shù)量關(guān)系式是．