Question

如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOC=30°，半徑為1cm的⊙P的圓心P在射線OA上，且與點(diǎn)O的距離為4cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移動(dòng)，那么⊙P與直線CD相切時(shí)的時(shí)刻為（ ）

A．2秒
B．6秒
C．2秒或6秒
D．4秒或6秒

Answer 1

【答案】分析：⊙P與CD相切應(yīng)有兩種情況，一種是在射線OA上，另一種在射線OB上，設(shè)對(duì)應(yīng)的圓的圓心分別在M，N兩點(diǎn)．當(dāng)P在M點(diǎn)時(shí)，根據(jù)切線的性質(zhì)，在直角△OME中，根據(jù)30度的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可求得OM的長(zhǎng)，進(jìn)而求得PM的長(zhǎng)，從而求得由P到M移動(dòng)的時(shí)間；根據(jù)ON=OM，即可求得PN，也可以求得求得由P到M移動(dòng)的時(shí)間．
解答：解：當(dāng)⊙P在射線OA上，設(shè)⊙P于CD相切于點(diǎn)E，P移動(dòng)到M時(shí)，連接ME．
∵⊙P與直線CD相切，
∴∠OEM=90°，
∵在直角△OPM中，ME=1cm，∠POE=30°，
∴OM=2ME=2cm，
則PM=OP-OM=4-2=2cm，
則⊙P移動(dòng)2秒時(shí)與直線CD相切．
當(dāng)⊙P的圓移動(dòng)到直線CD的右側(cè)，則PM=4+2=6cm．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，注意已知圓的切線時(shí)，常用的輔助線是連接圓心與切點(diǎn)，本題中注意到分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．