Question

如圖在△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，已知DE=DF，∠EDF=∠A．
（1）求證：△BAC∽△EDF；
（2）求證：

BD

CE

=

AB

BC

．

Answer 1

分析：（1）由條件AB=AC，DE=DF，可以得出：

DE

AB

=

DF

AC

，再由∠EDF=∠A可以得出結論．
（2）由（1）的結論可以得出：∠DEF=∠B=∠C．又有∠BED+∠DEF+∠FEC=∠C+∠CFE+∠FEC=180°，從而有∠BED=∠CFE．可以得出：△BDE∽△CEF．進而通過相似三角形的性質得出結論．

解答：證明：（1）∵AB=AC，DE=DF，
∴

DE

AB

=

DF

AC

，
∵∠EDF=∠A，
∴△DEF∽△ABC．

（2）∵△DEF∽△ABC．
∴∠DEF=∠B=∠C．
∵∠BED+∠DEF+∠FEC=∠C+∠CFE+∠FEC=180°，
∴∠BED=∠CFE．
∴△BDE∽△CEF．
∴

BD

CE

=

DE

EF

．
∵△DEF∽△ABC，
∴

DE

EF

=

AB

BC

．
∴

BD

CE

=

AB

BC

．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，相似三角形的判定方法有：
①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；
②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；
③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．