【題目】如圖1,將三角板放在正方形上,使三角板的直角頂點與正方形的頂點重合,三角板的一邊交于點.另一邊交的延長線于點.
(1)觀察猜想:線段與線段的數量關系是_____;
(2)探究證明:如圖2,移動三角板,使頂點始終在正方形的對角線上,其他條件不變,(1)中的結論是否仍然成立?若成立,請給予證明:若不成立.請說明理由:
(3)拓展延伸:如圖3,將(2)中的“正方形”改為“矩形”,且使三角板的一邊經過點,其他條件不變,若、,請?zhí)骄烤段與線段之間存在怎樣的數量關系?(用含、的代數式表示)
【答案】(1)EF=EG (2)見解析 (3)
【解析】
(1)因為四邊形ABCD是正方形,可得∠BED=∠DEF+∠BEF=90°,根據題意可得,∠GEF=∠GEB+∠BEF=90°,繼而可證∴∠GEB=∠DEF,然后利用ASA判定Rt△EGB≌Rt△EFD,最后根據全等三角形對應邊相等即可求解.
(2)過點E分別作EH⊥BC,EI⊥CD,垂足分別為H,I,則四邊形EHCI是矩形, 可得∠FEI+∠HEF=∠GEH+∠HEF=90° ,即∠FEI=∠GEH,根據正方形的性質,得出CE平分∠BCD, 可證得EI=EH,利用ASA可判定△FEI≌△GEH,繼而得出結論.
(3)過點E分別作EM⊥BC,EN⊥CD,垂足分別為M,N,同(2)可知,∠FEN=∠GEM
由長方形性質得:∠D=∠ENC=90°,進而可得EN∥AD,EM∥AB,由相似三角形的判定可得△CEN∽△CAD,△CEM∽△CAB,再由相似三角形對應邊成比例,等量代換可得,繼而得,根據相似三角形的判定可得△FEN∽△GEM,繼而求解.
證明:(1)EF=EG
∵四邊形ABCD是正方形
∴ED=EB,∠D=∠GBE
∵∠GEF=90°
∴∠GEB+∠BEF=90°
∵∠BED=90°,
∴∠DEF+∠BEF=90°
∴∠GEB=∠DEF
在Rt△EGB和Rt△EFD中,
∴Rt△EGB≌Rt△EFD(ASA)
∴EF=EG.
(2)成立,證明如下:
如圖,過點E分別作EH⊥BC,EI⊥CD,垂足分別為H,I,則四邊形EHCI是矩形
∴∠HEI=90°
∵∠GEF=90°
∴∠FEI+∠HEF=90°,∠GEH+∠HEF=90°
∴∠FEI=∠GEH
由正方形對角線的性質得,AC為∠BCD的角平分線 ,則EI=EH
在△FEI和△GEH中,
∴△FEI≌△GEH(ASA)
∴EF=EG;
(3)如圖,過點E分別作EM⊥BC,EN⊥CD,垂足分別為M,N
同(2)可知,∠FEN=∠GEM
由長方形性質得:∠D=∠ENC=90°,
∠ABC=∠EMC=90°,AD=BC=b.
∴EN∥AD,EM∥AB.
∴△CEN∽△CAD,△CEM∽△CAB
∴,,
∴,即
∵∠FEN=∠GEM,∠FNE=∠GME=90°
∴△FEN∽△GEM
∴.
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【題目】城有肥料,城有肥料.現要把這些肥料全部運往、兩鄉(xiāng),鄉(xiāng)需要肥料240t,鄉(xiāng)需要肥料,其運往、兩鄉(xiāng)的運費如下表:
兩城/兩鄉(xiāng) | C/(元/) | D/(元/) |
20 | 24 | |
15 | 17 |
設從城運往鄉(xiāng)的肥料為,從城運往兩鄉(xiāng)的總運費為元,從城運往兩鄉(xiāng)的總運費為元
(1)分別寫出、與之間的函數關系式(不要求寫自變量的取值范圍);
(2)試比較、兩城總運費的大。
(3)若城的總運費不得超過4800元,怎樣調運使兩城總費用的和最少?并求出最小值.
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【題目】疫情期間,甲、乙兩個口罩工廠共同承擔口罩生產任務,甲工廠單獨完成此項任務比乙工廠單獨完成此項任務需多用10天,且甲工廠單獨生產45天和乙工廠單獨生產30天的工作量相同.
(1)甲、乙兩工廠單獨完成此項任務需要多少天?
(2)若甲、乙兩工廠共同生產了3天后,乙工廠因設備檢修停止生產,由甲工廠維續(xù)生產,為了不影響任務進度,甲工廠的工作效率提高到原來的2倍,要使甲工廠總的工作量不少于乙工廠總的工作量的2倍,那么甲工廠需要至少再單獨生產多少天?
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【題目】如圖,已知點C處有一個高空探測氣球,從點C處測得水平地面上A,B兩點的俯角分別為30°和45°.若AB=2km,則A,C兩點之間的距離為_____km.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,線段AC的垂直平分線交BC于點F,交AC于點E,交BA的延長線于點D.若DE=3,則BF=( ).
A.4B.3C.2D.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點E ,G是弧AC上的點,AG,DC延長線交于點F.
(1)求證:∠FGC=∠AGD.
(2)若BE=2,CD=8,求AD的長.
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