Question

5．如圖，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，BD切⊙O于點B，交AC的延長線于點D，點E為$\widehat{AC}$的中點，連接BE交AC于點F．
（1）求證：△BDF是等腰三角形；
（2）連接AE，若sin∠EAF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，CD=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點E為$\widehat{AC}$的中點，可以求得∠EBC=∠EAC=∠EBA，由AB為圓的直徑，可以求得∠AEB=∠ACB=90°，然后通過轉化可以得到所要證明的結論；
（2）根據(jù)等角的轉化和sin∠EAF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，CD=3，可以分別求得BD、BC的長，從而可以求得AB的長，進而得到圓的半徑．

解答 （1）證明：連接BC，如右圖所示，
∵點E為$\widehat{AC}$的中點，BD切⊙O于點B，
∴∠EBA=∠EAC，∠DBA=90°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，∠ACB=90°，
∴∠DBF+∠EBA=90°，
又∵∠DFB=∠EFA，∠EFA+∠EAC=90°，
∴∠DFB=∠DBF，
∴△BDF是等腰三角形；
（2）解：設BD=x，
∵CD=3，DF=DB，
∴CF=x-3，
∵∠CBF=∠EAF，sin∠EAF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∠BCD=90°，
∴設CF=$\sqrt{5}a$，則BF=5a，BC=$2\sqrt{5}a$，
∴$\frac{CF}{BC}=\frac{x-3}{BC}=\frac{\sqrt{5}a}{2\sqrt{5}a}=\frac{1}{2}$，
解得BC=2x-6，
又∵BC=$\sqrt{B{D}^{2}-C{D}^{2}}=\sqrt{{x}^{2}-{3}^{2}}$，
∴2x-6=$\sqrt{{x}^{2}-9}$
解得x=5或x=3（舍去），
即BD=5，BC=4，
∵∠D=∠D，∠DCB=∠DBA=90°，
∴△DCB∽△DBA，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{BC}{AB}$，
即$\frac{3}{5}=\frac{4}{AB}$，
解得AB=$\frac{20}{3}$，
∴⊙O的半徑是$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查切線的性質(zhì)，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的思想解答問題．