Question

已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．
（1）如圖（1），CD平分∠ACB交AB于點D，BE⊥CD于點E，延長BE、CA相交于點F，請猜想線段BE與CD的數(shù)量關系，并說明理由．
（2）如圖（2），點F在BC上，∠BFE=

1

2

∠ACB，BE⊥FE于點E，AB與FE交于點D，F(xiàn)H∥AC交AB于H，延長FH、BE相交于點G，求證：BE=

1

2

FD；
（3）如圖（3），點F在BC延長線上，∠BFE=

1

2

∠ACB，BE⊥FE于點E，F(xiàn)E交BA延長線于點D，請你直接寫出線段BE與FD的數(shù)量關系（不需要證明）．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）先利用AAS證明△ABF≌△ACD，得到BF=CD，再利用ASA證明△BCE≌△FCE，從而得到BE=FE=

1

2

BF，進而得出BE=

1

2

CD；
（2）利用“等角對等邊”證明BH=FH，再通過證明△BFE≌△GFE，得到BE=

1

2

GB，再證明△BHG≌△FHD，得到BG=FD，從而得到BE=

1

2

FD；
（3）利用相同的方法可得BF和FD的關系．

解答：解：（1）猜想：BE=

1

2

CD．
理由：∵BE⊥CD，∠BAC=90°，∠BDE=∠ADC，
∴∠ABF=∠ACD，∠BAF=∠BAC．
在△ABF和△ACD中，

∠BAC=∠BAF ∠ABF=∠ACD AB=AC

，
∴△ABF≌△ACD（AAS）．
∴BF=CD．
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCE=∠FCE．
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠FEC=90°．
在△BCE和△FCE中，

∠BEC=∠FEC EC=EC ∠BCE=∠FCE

，
∴△BCE≌△FCE（ASA）．
∴BE=FE=

1

2

BF．
∴BE=

1

2

CD．
（2）證明：∵AB=AC，F(xiàn)H∥AC
∴∠ABC=∠ACB，∠BFH=∠ACB．
∴∠BHF=∠BAC=90°．∠ABC=∠BFH．
∴BH=FH．
∵∠BFE=

1

2

∠ACB，
∴∠EFG=

1

2

∠ACB．
∴∠BFE=∠EFG．
∵BE⊥FE，
∴∠BEF=∠GEF．
在△BFE和△GFE中，

∠BEF=∠GEF EF=EF ∠BFE=∠EFG

，
∴△BFE≌△GFE（ASA）．
∴BE=GE．
∴BE=

1

2

GB．
在△BHG和△FHD中，

∠BHG=∠BHF=90° BH=FH ∠GBH=DFH

，
∴△BHG≌△FHD（ASA）．
∴BG=FD，
∴BE=

1

2

FD．
（3）BE=

1

2

FD．
證明：過點F作GF∥AC，交BE，AD延長線于點G，H
∴∠BFG=∠ACB
∵∠BFE=

1

2

∠ACB
∴∠BFE=∠GFE
在△FBE和△FBG中

∠GEF=∠GFE=90° EF=EF ∠EFB=∠EFG

∴△FBE≌△FBG（ASA）
∴∠EFB=∠EFG
BE=EG=

1

2

BG
∵FG∥AC
∴∠BAC=∠BHF=90°
在四邊形GEDH中
∠G+∠EDG=180°
又∵∠HDF+∠EDH=180°
∴∠HDF=∠G
在△DHF和△GHB中

∠HDF=∠G ∠BAC=∠BHF BG=GF

∴△DHF≌△GHB（AAS）
∴BG=DF
∴BE=

1

2

FD．

點評：本題考查了全等三角形、等腰三角形的性質和判定，解題的關鍵通過證明三角形全等尋找線段之間的關系，另外在遇到證明或探究線段之間的關系時，往往考慮等腰三角形的性質以及三角形的中位線定理等有關線段倍分的定理．