Question

5．已知關(guān)于x的一元二次方程ax²-2（a-1）x+a-1=0有實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若方程兩實(shí)數(shù)根分別為x₁、x₂，且滿足|x₁-x₂|=4，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判別式的意義得到△=4[-2（a-1）]²-4a（a-1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-$\frac{2（a-1）}{a}$，x₁•x₂=$\frac{a-1}{a}$，由|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4，整體代入得到關(guān)于a的一元二次方程，解方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)題意得△=[-2（a-1）]²-4a（a-1）≥0，且a≠0，
解得a≤1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤1且a≠0；

（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=-$\frac{2（a-1）}{a}$，x₁•x₂=$\frac{a-1}{a}$，
∵|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4，
解得：a=$\frac{-1±\sqrt{17}}{8}$，
∵a≤1，
∴a₁=$\frac{-1+\sqrt{17}}{8}$，a₂=$\frac{-1-\sqrt{17}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個(gè)為x₁，x₂，則x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式．