Question

16．在平面幾何的學(xué)習(xí)過程中，我們經(jīng)常會研究角和線之間的關(guān)系．

（1）如圖①，直線a、b被直線c所截，交點(diǎn)分別為A、B．當(dāng)∠1、∠2滿足數(shù)量關(guān)系∠1+∠2=180°時，a∥b；
（2）如圖②，在（1）中，作射線BC，與直線a的交點(diǎn)為C，當(dāng)∠3、∠4滿足何種數(shù)量關(guān)系時，AB=AC？證明你的結(jié)論；
（3）如圖③，在（2）中，若∠BAC=90°，AB=2，⊙I為△ABC的內(nèi)切圓．
①求⊙I的半徑；
②P為直線a上一點(diǎn)，若⊙I上存在兩個點(diǎn)M、N，使∠MPN=60°，直接寫出AP長度的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角的定義即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ACB=∠4，等量代換得到∠ACB=∠3，由等腰三角形的判定即可得到結(jié)論；
（3）①由（2）得AB=AC，推出△ABC是等腰直角三角形．根據(jù)勾股定理得到BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，由⊙I為△ABC的內(nèi)切圓，得到四邊形ADIF是正方形．根據(jù)切線長定理得到r=AD=$\frac{AB+AC-BC}{2}$=2-$\sqrt{2}$，于是得到結(jié)論；
②當(dāng)點(diǎn)P在射線AC上時，得到0≤AP≤2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$+2-$\sqrt{2}$，當(dāng)點(diǎn)P在射線AC的反向延長線上時，得到0≤AP≤2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$-2+$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∠1+∠2=180°，
故答案為：∠1+∠2=180°；

（2）當(dāng)∠3=∠4時，AB=AC，
證明：∵a∥b，
∴∠ACB=∠4，
又∵∠3=∠4，
∴∠ACB=∠3，
∴AB=AC；

（3）①由（2）得AB=AC，
又∵∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∵AB=2，
∴AC=2．
∴在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
設(shè)D、E、F分別為邊AB、BC、AC上的切點(diǎn)，
連接ID、IE、IF，
∵⊙I為△ABC的內(nèi)切圓，
∴ID⊥AB、IE⊥BC、IF⊥AC．
∴AD=AF，BD=BE，CE=CF．
∵∠BAC=90°，
∴四邊形ADIF是矩形．
∵ID=IF，
∴矩形ADIF是正方形．
∴r=AD=$\frac{AB+AC-BC}{2}$=2-$\sqrt{2}$．
∴⊙I的半徑為2-$\sqrt{2}$；
②如圖，當(dāng)點(diǎn)P在射線AC上時，點(diǎn)M與F重合，N與E重合，∠MPN=60°，∴∠PNI=∠PIE=75°，∴∠FIP=60°，
∴PF=$\sqrt{3}$FI=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$，∴PA=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$，∴0≤AP≤2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$+2-$\sqrt{2}$，
同理，當(dāng)點(diǎn)P在射線AC的反向延長線上時，0≤AP≤2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$-2+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定和性質(zhì)，內(nèi)切圓的性質(zhì)，等腰三角形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，證得矩形ADIF是正方形，是解決（3）小題的關(guān)鍵．