Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=BD．
（1）若∠ABD=

3

2

∠ADB，求∠BDC的度數(shù)；
（2）若AD=10，cot∠C=

1

2

，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：梯形,解直角三角形

專題：

分析：（1）利用平行線的性質(zhì)得出，∠ABD+∠ADB=90°，進(jìn)而設(shè)∠ADB=x，則∠ABD=

3

2

x，求出x的值，進(jìn)而得出∠BDC的度數(shù)；
（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系以及勾股定理得出EC的長，再利用梯形面積公式得出答案．

解答：解：（1）∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=90°，∠ABD+∠ADB=90°，
∵∠ABD=

3

2

∠ADB，
∴設(shè)∠ADB=x，則∠ABD=

3

2

x，
故x+

3

2

x=90，
解得：x=36，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠C=

180°-36°

2

=72°；

（2）過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，
∵cot∠C=

1

2

，
∴

EC

DE

=

1

2

，
設(shè)EC=y，則DE=2y，
∵∠A=∠ABC=∠BED=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DE=2y，ad=be=10，則BD=BC=y+10，
故在Rt△ABD中，
AB²+AD²=BD²，
即（2y）²+10²=（y+10）²，
解得：y₁=0（不合題意舍去），y₂=

20

3

，
故2y=

40

3

，
則梯形ABCD的面積為：

1

2

×（AD+BC）×ED=

1

2

×（10+10+

20

3

）×

40

3

=

1600

9

．

點(diǎn)評：此題主要考查了梯形面積求法以及勾股定理和平行線的性質(zhì)等知識，得出EC的長是解題關(guān)鍵．