【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AE平分∠BAC交⊙O于點E,交BC于點D,過點E做直線l∥BC

(1)判斷直線l與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;

(2)若∠ABC的平分線BF交AD于點F,求證:BE=EF;

(3)在(2)的條件下,若DE=4,DF=3,求AF的長

【答案】(1)直線l與⊙O相切;(2)證明見解析;(3)

【解析】

試題分析:(1)連接OE、OB、OC.由題意可證明,于是得到∠BOE=∠COE,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可證明OE⊥BC,于是可證明OE⊥l,故此可證明直線l與⊙O相切;

(2)先由角平分線的定義可知∠ABF=∠CBF,然后再證明∠CBE=∠BAF,于是可得到∠EBF=∠EFB,最后依據(jù)等角對等邊證明BE=EF即可;

(3)先求得BE的長,然后證明△BED∽△AEB,由相似三角形的性質(zhì)可求得AE的長,于是可得到AF的長.

試題解析:(1)直線l與⊙O相切.

理由:如圖1所示:連接OE、OB、OC.

∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE,,∠BOE=∠COE.

又∵OB=OC,∴OE⊥BC.

∵l∥BC,∴OE⊥l,直線l與⊙O相切.

(2)∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF.

又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE,∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF.

又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF,∴∠EBF=∠EFB,BE=EF.

(3)由(2)得BE=EF=DE+DF=7.∵∠DBE=∠BAE,∠DEB=∠BEA,∴△BED∽△AEB,,即,解得;AE=,AF=AE﹣EF=﹣7=

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