Question

如圖，AC是⊙O的直徑，四邊形ABCD是平行四邊形，AD，BC分別交⊙O于點F，E，連接AE，CF．
（1）試判斷四邊形AECF是哪種特殊的四邊形，并說明理由；
（2）若AB與⊙O相切于點A，且⊙O的半徑為5cm，弦CE的長為8cm，求AB的長．

Answer 1

考點：切線的性質,平行四邊形的性質,圓周角定理

專題：

分析：（1）根據圓周角定理得到∠AEC=∠AFC=90°，再根據平行四邊形的性質得AF∥EC，所以∠EAC=∠AEC=90°，于是可判斷四邊形AECF是矩形；
（2）根據切線的性質得∠BAC=90°，再證明Rt△CAE∽Rt△CBA，利用CA：CB=CE：CA可計算出BC，然后根據勾股定理可計算出AB．

解答：解：（1）四邊形AECF是矩形．理由如下：
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AF∥EC，
∴∠EAC=∠AEC=90°，
∴四邊形AECF是矩形

（2）∵AB與⊙O相切于點A，
∴∠BAC=90°，
∵∠ACE=∠BCA，
∴Rt△CAE∽Rt△CBA，
∴CA：CB=CE：CA，即10：CB=8：10，
∴BC=

25

2

，
在Rt△ABC中，AB=

BC2-AC2

=

15

2

．

點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了圓周角定理、平行四邊形的性質以及三角形相似的判定與性質．