Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OA、OC的
（OA＜OC）是方程x²-5x+4=0的兩個(gè)根，且拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=

5

2

．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在線段BC上是否存在一點(diǎn)D，使得S_△ACD：S_△ABD=2：1？若存在，求出經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）如圖2，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)C的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E），再到達(dá)拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短路徑長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）首先解方程得出AO，CO的長(zhǎng)，進(jìn)而得出A，C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=

5

2

，求出解析式即可；
（2）利用S_△ACD：S_△ABD=2：1，由三角形同高得出CD：BD=2：1，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出D點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出反比例函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)來(lái)求解．可做C點(diǎn)關(guān)于直線x=

5

2

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，做M點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，連接C′M′．那么E、F就是直線C′M′與x軸和拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，求出長(zhǎng)度即可．

解答：解：（1）∵線段OA、OC的長(zhǎng)度（OA＜OC）是方程x²-5x+4=0的兩個(gè)根，
∴解得：OA=1，CO=4，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，0），（0，4），
∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=

5

2

，
∴-

b

2a

=

5

2

，
可得：

a-b+c=0 c=4 - b 2a = 5 2

，
解得：

a=- 2 3 b= 10 3 c=4

，
∴拋物線的解析式為：y=-

2

3

x²+

10

3

x+4；

（2）存在，
理由：連接ADAC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，DF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵S_△ACD：S_△ABD=2：1，D在線段BC上，
∴CD：BD=2：1，
由題意可得出：ED∥BO，
∴△CED∽△COB，
∴

CD

BC

=

ED

BO

，
∴

2

3

=

ED

6

，
解得：DE=4，
同理可得出：

DF

CO

=

BD

BC

=

1

3

，
∴DF=

4

3

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，

4

3

）
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式為：y=

k

x

，
∵k=4×

4

3

=

16

3

，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

16

3x

；

（3）做C點(diǎn)關(guān)于直線x=

5

2

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，做M點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，連接C′M′．
則E、F分別為直線C′M′與x軸和拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，此時(shí)C'M'即為點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短路徑長(zhǎng)，
則有C′（5，4），M′（0，-2）；
故點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短路徑長(zhǎng)=C'M'=

C′C2+M′C2

=

61

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)解析式求法以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及利用對(duì)稱(chēng)求最小值問(wèn)題以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用相似得出D點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．