Question

已知，如圖，直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點C，S_△AOC=9．
（1）求S_△AOB；
（2）求k的值；
（3）D是雙曲線上一點，DE垂直x軸于E，若以O(shè)、D、E為頂點的三角形與△AOB相似，試求點D的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，
∴A點的坐標(biāo)是（-3，0），B點的坐標(biāo)是（0，），
∴AO=3，BO=，
∴S_△AOB=×3×，
∴S_△AOB=；

（2）過點C作CF⊥AO于點F，
∵S_△AOC=9．
∴9=AO•CF×，
∴CF=6，
即點C的縱坐標(biāo)為6，把y=6，代入直線得，x=1，
∴C點的坐標(biāo)為（1，6），
∴k=6×1=6；

（3）設(shè)D點的橫坐標(biāo)為x，則縱坐標(biāo)為，DE=，
∴OE=x，DE=，
①當(dāng)△AOB∽△OED時，
=，即=，
∴x=±2，∴y=±3，
∴D（2，3），（-2，-3）；
②當(dāng)△AOB∽△DEO時，
=，即=，
∴x=±3，∴y=±2，
∴D（3，2），（-3，-2）；
綜上可知：D（2，3），（-2，-3），（3，2），（-3，-2）．
分析：（1）求出A、B兩點的坐標(biāo)，從而知道AO，BO的長度，三角形AOB又是直角三角形，所以面積可求；
（2）因為S_△AOC=9，AO的長已知，所以可求出AO邊上的高，即點C的縱坐標(biāo)，把求出的縱坐標(biāo)代入直線，可得橫坐標(biāo)，所以可求出k的值；
（3）此小題要分類討論①點D所在的象限不唯一②相似三角形不唯一．
點評：本題考查了一次函數(shù)的圖象和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積和一次函數(shù)和反比例函數(shù)交點以及相似三角形在函數(shù)圖象中的運用，并且考查到了相似對應(yīng)的不唯一性，題目難度不大，具有一定的綜合性．