Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，3），點(diǎn)B在y軸的正半軸上，連結(jié)AB，以AB為邊作矩形ABCD，其中AB⊥BC且AB=3BC，設(shè)C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則用m的代數(shù)式表示D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4+m，$\frac{5}{3}$）或（4+m，$\frac{13}{3}$）．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，則∠AEB=∠BFC=90°，通過(guò)角的計(jì)算找出∠CBF=∠BAE，從而得出△BFC∽△AEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出$\frac{BF}{AE}=\frac{CF}{BE}=\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$，結(jié)合給定條件A（4，3），C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，找出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答 解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，則∠AEB=∠BFC=90°，如圖所示．
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CBF=∠BAE．
又∵∠∠AEB=∠BFC=90°，
∴△BFC∽△AEB，
∴$\frac{BF}{AE}=\frac{CF}{BE}=\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$．
∵A（4，3），C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，
∴AE=4，CF=|m|，
∴BF=$\frac{4}{3}$，BE=3|m|．
①當(dāng)C、D在直線AB下方時(shí)：B（0，3-3m），C（m，$\frac{5}{3}$-3m），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4+m-0，3+$\frac{5}{3}$-3m-（3-3m）），即（4+m，$\frac{5}{3}$）；
②當(dāng)C、D在直線AB上方時(shí)：B（0，3-3m），C（m，$\frac{13}{3}$-3m），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4+m-0，3+$\frac{13}{3}$-3m-（3-3m）），即（4+m，$\frac{13}{3}$）．
綜上可知：點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4+m，$\frac{5}{3}$）或（4+m，$\frac{13}{3}$）．
故答案為：（4+m，$\frac{5}{3}$）或（4+m，$\frac{13}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是用含m的代數(shù)式表示出B、C的坐標(biāo)．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，矩形ABCD字母的排列可能是順時(shí)針也可能是逆時(shí)針．