Question

閱讀下面材料，并解決問題：
（I）如圖4，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為3，4，5．則∠APB=

 

，由于PA，PB不在一個(gè)三角形中，為了解決本題我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時(shí)△ACP′≌

 

．這樣，就可以利用全等三角形知識(shí)，將三條線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中從而求出∠APB的度數(shù)．
（II）（拓展運(yùn)用）已知△ABC三邊長(zhǎng)a，b，c滿足|a-6

2

|+c2-24c+144+

b-6 2

=0．
（1）試判斷△ABC的形狀

 

（2）如圖1，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，直接出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)

 

；
（3）如圖2，過點(diǎn)C作∠MCN=45°交AB于點(diǎn)M，N．請(qǐng)證明AM²+BN²=MN²；
（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)N的坐標(biāo)是（8，0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

 

；此時(shí)MN=

 

．并求直線CM的解析式．
（5）如圖3，當(dāng)點(diǎn)M，N分布在點(diǎn)B異側(cè)時(shí)．則（3）中的結(jié)論還成立嗎？

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（Ⅰ）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ACP′和△ABP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得P′A=PA，PB=P′C，∠PAP′=∠BAC，然后判斷出△APP′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形每一個(gè)角都是60°可得∠AP′P=60°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′C=90°，然后根據(jù)∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解；
（Ⅱ）（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b、c，再利用勾股定理逆定理判斷出是直角三角形，從而得到△ABC是等腰直角三角形；
（2）根據(jù)c的值寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)即可得解；
（3）把△ACM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCM′，連接M′N，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AM=BM′、CM=CM′、∠CAM=∠CBM′，∠ACM=∠BCM′，然后求出∠MCN=∠M′CN，∠M′BN=90°，再利用“邊角邊”證明△MCN和△M′CN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MN=M′N，然后利用勾股定理列式證明即可；
（4）設(shè)AM=x，表示出MN的長(zhǎng)，然后根據(jù)（3）的結(jié)論列出方程求出x，再寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，以及MN的長(zhǎng)，設(shè)直線CM的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；
（5）把△BCN繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACN′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AN′=BN，CN′=CN，∠CAN′=∠CBN，然后判斷出點(diǎn)N′在y軸上，再求出∠MCN′=45°，從而得到∠MCN=∠MCN′，再利用“邊角邊”證明△MCN和△MCN′全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MN=MN′，然后利用勾股定理列式即可得證．

解答：解：（Ⅰ）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∵△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，
∴△ACP′≌△ABP，
∴P′A=PA=3，PB=P′C=4，∠PAP′=∠BAC=60°，
∴△APP′是等邊三角形，
∴∠AP′P=60°，PP′=PA=3，
在△P′PC中，P′P²+P′C²=3²+4²=25=PC²，
∴∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°，
∴∠APB=150°；
故答案是：150°，△ABP；

（Ⅱ）（1）整理得，|a-6

2

|+（c-12）²+

b-6 2

=0，
由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得，a-6

2

=0，c-12=0，b-6

2

=0，
解得a=b=6

2

，c=12，
∵a²+b²=（6

2

）²+（6

2

）²=144=c²，
∴△ABC是直角三角形，
又∵a=b，
∴△ABC是等腰直角三角形；

（2）∵AB=c=12，
∴點(diǎn)B（12，0），
過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，則AD=CD=

1

2

AB=

1

2

×12=6，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，6）；

（3）如圖，把△ACM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCM′，連接M′N，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AM=BM′、CM=CM′、∠CAM=∠CBM′=45°，∠ACM=∠BCM′，
∴∠M′BN=∠ABC+∠CBN′=45°+45°=90°，
∵∠MCN=45°，
∴∠M′CN=∠BCN+∠BCM′=∠BCN+∠ACM=90°-∠MCN=90°-45°=45°，
∴∠MCN=∠M′CN，
在△MCN和△M′CN中，

CM=CM′ ∠MCN=∠M′CN CN=CN

，
∴△MCN≌△M′CN（SAS），
∴MN=M′N，
在Rt△M′NB中，BM′²+BN²=M′N²，
∴AM²+BN²=MN²；

（4）設(shè)AM=x，
∵點(diǎn)N的坐標(biāo)是（8，0），
∴AN=8，BN=12-8=4，
∴MN=8-x，
由（3）的結(jié)論，x²+4²=（8-x）²，
解得x=3，
∴AM=3，MN=8-3=5，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)（3，0）；
設(shè)直線CM的解析式為y=kx+b，
∵點(diǎn)C（6，6），M（3，0），
∴

6k+b=6 3k+b=0

，
解得

k=2 b=-6

，
∴設(shè)直線CM的解析式為y=2x-6；

（5）如圖，∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
把△BCN繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACN′，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AN′=BN，CN′=CN，∠CAN′=∠CBN=135°，
∴∠MAN′=135°-45°=90°，
∴點(diǎn)N′在y軸上，
∵∠MCN=45°，
∴∠MCN′=90°-45°=45°，
∴∠MCN=∠MCN′，
在△MCN和△MCN′中，

CN′=CN ∠MCN=∠MCN′ CM=CM

，
∴△MCN≌△MCN′（SAS），
∴MN=MN′，
在Rt△AMN′中，AM²+AN′²=MN′²，
∴AM²+BN²=MN²．
故答案為：（Ⅰ）150°，△ABP；（1）等腰直角三角形；（2）B（12，0），C（6，6）；（4）（3，0），5．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，勾股定理逆定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，熟記各性質(zhì)與全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．