【題目】如圖,點(diǎn)G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點(diǎn),以線段AG為邊作一個(gè)正方形AEFG,線段EB和GD相交于點(diǎn)H.
(1)求證:EB=GD;
(2)判斷EB與GD的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)若AB=2,AG= ,求EB的長.

【答案】
(1)證明:在△GAD和△EAB中,∠GAD=90°+∠EAD,∠EAB=90°+∠EAD

∴∠GAD=∠EAB,

∵四邊形EFGA和四邊形ABCD是正方形,

∴AG=AE,AB=AD,

在△GAD和△EAB中,

,

∴△GAD≌△EAB(SAS),

∴EB=GD;


(2)解:EB⊥GD.

理由如下:∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠DAB=90°,

∴∠AMB+∠ABM=90°,

又∵△AEB≌△AGD,

∴∠GDA=∠EBA,

∵∠HMD=∠AMB(對頂角相等),

∴∠HDM+∠DMH=∠AMB+∠ABM=90°,

∴∠DHM=180°﹣(∠HDM+∠DMH)=180°﹣90°=90°,

∴EB⊥GD.


(3)解:連接AC、BD,BD與AC交于點(diǎn)O,

∵四邊形ABCD是正方形,

∴BD⊥CG,

∵AB=AD=2,在Rt△ABD中,DB=

在Rt△AOB中,OA=OB,AB=2,由勾股定理得:2AO2=22,

OA= ,

即OG=OA+AG= + =2 ,

∴EB=GD=


【解析】(1)在△GAD和△EAB中,∠GAD=90°+∠EAD,∠EAB=90°+∠EAD,得到∠GAD=∠EAB從而△GAD≌△EAB,即EB=GD;(2)EB⊥GD,由(1)得∠ADG=∠ABE則在△BDH中,∠DHB=90°所以EB⊥GD;(3)設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O,由AB=AD=2在Rt△ABD中求得DB,所以得到結(jié)果.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識,掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2,以及對正方形的性質(zhì)的理解,了解正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】【知識鏈接】 有理化因式:兩個(gè)含有根式的非零代數(shù)式相乘,如果它們的積不含有根式,那么這兩個(gè)代數(shù)式相互叫做有理化因式.
例如: 的有理化因式是 ;1﹣ 的有理化因式是1+
分母有理化:分母有理化又稱“有理化分母”,也就是把分母中的根號化去.指的是如果代數(shù)式中分母有根號,那么通常將分子、分母同乘以分母的有理化因式,達(dá)到化去分母中根號的目的.如:
= = ﹣1, = =
(1)【知識理解】 填空:2 的有理化因式是;
直接寫出下列各式分母有理化的結(jié)果:
=;② =
(2)【啟發(fā)運(yùn)用】 計(jì)算: + + +…+

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A.2
B.
C.
D.

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(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+4的表達(dá)式;

(2)連接AC,AB,若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(不與點(diǎn)B,C重合),過點(diǎn)N作NMAC,交AB于點(diǎn)M,當(dāng)AMN面積最大時(shí),求N點(diǎn)的坐標(biāo);

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