【題目】如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(﹣1,0),B(0,﹣ ),C(2,0),其對稱軸與x軸交于點D
(1)求二次函數(shù)的表達式及其頂點坐標;
(2)若P為y軸上的一個動點,連接PD,求PB+PD的最小值;
(3)M(x,t)為拋物線對稱軸上一動點
①若平面內存在點N,使得以A,B,M,N為頂點的四邊形為菱形,則這樣的點N共有 個;
②連接MA,MB,若∠AMB不小于60°,求t的取值范圍.
【答案】拋物線解析式為y=x2﹣x﹣,頂點坐標(,﹣).
(2)PB+PD的最小值為
(3)①5
②取值范圍是
【解析】二次函數(shù)的表達式有三種方法,這題很明顯可以用頂點式以及交點式更方便些;這一題根據(jù)邊的關系得出∠ABO=30°非常重要,根據(jù)在直角三角形中,30°所對的邊是斜邊的一半把所要求的邊轉化,再根據(jù)點到直線垂線段最短求得最小值;第三問ABMN組成菱形,只有AB是定點,所以要討論AB是鄰邊還是對角線;最后一問與圓的知識相結合,有一定的難度,主要根據(jù)∠ABO=30°,AB=2是定值,以AB的垂直平分線與y軸的交點為圓心F,以FA為半徑,則弧AB所對的圓周角為60°,與對稱軸的兩個交點即為t的取值范圍。
解:(1)方法一:設二次函數(shù)的表達式為,B(0,-)代入解得
∴
∴頂點坐標為
方法二:也可以用三點式設代入三點或者頂點式設代入兩點求得。
如圖,過P點作DE⊥AB于E點,由題意已知∠ABO=30°。
∴
∴
要使最小,只需要D、P、E共線,所以過D點作DE⊥AB于E點,與y軸的交點即為P點。
由題意易知,∠ADE=∠ABO=30°,
①若A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形,分兩種情況,由題意知,AB=2,
若AB為邊菱形的邊,因為M為拋物線對稱軸上的一點,即分別以A、B為頂點,AB的長為半徑作圓與對稱軸的交點即為M點,這樣的M點有四個,如圖
若AB為菱形的對角線,根據(jù)菱形的性質,作AB的垂直平分線與對稱軸的交點即為M點。
綜上所述,這樣的M點有5個,所以對應的N點有5個。
②如圖,作AB的垂直平分線,與y軸交于F點。
由題意知,AB=2,∠BAF=∠ABO=30°,∠AFB=120°
∴以F為圓心,AF的長為半徑作圓交對稱軸于M和M'點,則∠AMB=∠AM'B=∠AFB=60°
∵∠BAF=∠ABO=30°,OA=1
∴∠FAO=30°,AF==FM=FM',OF=,過F點作FG⊥MM'于G點,已知FG=
∴,又∵G
∴M(,M'
∴
方法二:設M,M到點F的距離d=AF=也可求得.
“點睛”本題考查二次函數(shù)綜合題、銳角三角函數(shù)、最短問題、圓等知識,解題的關鍵是掌握待定系數(shù)法確定解析式,學會利用垂線最短解決實際問題中 的最短問題,學會添加輔助線,構造圓解決角度問題,屬于中考壓軸題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,菱形ABCD的對角線交于點O,AC=2BD,點P是AO上一個動點,過點P作AC的垂線交菱形的邊于M,N兩點.設AP=x,△OMN的面積為y, 表示y與x的函數(shù)關系的圖象大致如圖2所示,則菱形的周長為
A. 2 B. C. 4 D.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形ABCD中,CD∥AB,且CD=6cm,AB=9cm,P、Q分別從A、C同時出發(fā),P以1cm/s的速度由A向B運動,Q以2cm/s的速度由C向D運動.則秒時,直線QP將四邊形ABCD截出一個平行四邊形
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