Question

已知反比例函數(shù)y=

k

2x

與一次函數(shù)y=2x-1，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（a，b）和（a+1，b+k）兩點
（1）求反比例函數(shù)表達式；
（2）已知A在第一象限且同時在上述兩個函數(shù)圖象上，求A點坐標；
（3）坐標軸上是否存在一點P，使△AOP為等腰三角形？若存在，求出其坐標．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：計算題

分析：（1）把點（a，b）和（a+1，b+k）兩點分別代入y=2x-1得到b=2a-1，b+k=2（a+1）-1，然后消去a、b即可得到k=2，則可確定反比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題解方程組

y=2x-1 y= 1 x

可確定點A的坐標為（1，1）；
（3）根據(jù)A點坐標計算出OA=

2

，然后分類討論：當△AOP為等腰三角且以點OA、OP為腰，則以O點為圓心

2

為半徑作圓，與坐標軸的交點即為P點；當△AOP為等腰三角且以點AO、AP為腰，則以A點為圓心

2

為半徑作圓，與坐標軸的交點即為P點；當△AOP為等腰三角且以點PA、PO為腰，則OA的垂直平分線與坐標軸的交點即為P，再根據(jù)坐標軸上點的坐標特征分別寫出滿足條件的所有P點坐標．

解答：解1）把點（a，b）和（a+1，b+k）兩點分別代入y=2x-1得
b=2a-1，b+k=2（a+1）-1，
∴2a-1+k=2a+2-1，解得k=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

2

2x

=

1

x

；
（2）解方程組

y=2x-1 y= 1 x

得

x=- 1 2 y=-2

或

x=1 y=1

，
∴點A的坐標為（1，1）；
（3）存在．
∵點A的坐標為（1，1）；
∴OA=

2

，
當△AOP為等腰三角且以點OA、OP為腰，則P點坐標為（

2

，0）、（0，

2

）、（-

2

，0）、（0，-

2

）；
當△AOP為等腰三角且以點AO、AP為腰，則P點坐標為（2，0）、（0，2）；
當△AOP為等腰三角且以點PA、PO為腰，則P點坐標為（1，0）、（0，1）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．