Question

如圖，拋物線F：y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為P，拋物線F與y軸交于點(diǎn)A，與直線OP交于點(diǎn)B．過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，平移拋物線F使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D得到拋物線F′：y=a′x²+b′x+c′，拋物線F′與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．
（1）當(dāng)a=1，b=-2，c=3時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)（直接寫出答案）；
（2）若a、b、c滿足了b²=2ac
①求b：b′的值；
②探究四邊形OABC的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）C（3，0）；

（2）①拋物線y=ax²+bx+c，
令x=0，則y=c，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)（0，c）．
∵b²=2ac，
∴=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．
∵PD⊥x軸于D，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）．
根據(jù)題意，得a=a′，c=c′，
∴拋物線F′的解析式為y=ax²+b'x+c．
又∵拋物線F′經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（，0），
∴0=．
∴0=b²-2bb'+4ac．
又∵b²=2ac，
∴0=3b²-2bb'．
∴b：b′=2：3．
②由①得，拋物線F′為y=ax²+bx+c．
令y=0，則ax²+bx+c=0．
∴x₁=，x₂=．
∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0）．
設(shè)直線OP的解析式為y=kx．
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），
∴=k，
∴k=，
∴y=-x．
∵點(diǎn)B是拋物線F與直線OP的交點(diǎn)，
∴ax²+bx+c=-x．
∴x₁=，x₂=．
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為．
把x=代入y=-x，
得y=-（）=．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，c）．
∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC=OA），
∴四邊形OABC是平行四邊形．
又∵∠AOC=90°，
∴四邊形OABC是矩形．
分析：（1）由于拋物線F′由拋物線F平移所得，開口方向和開口大小都無(wú)變化，因此a=a′=1；由于兩條拋物線都與y軸交于A點(diǎn)，那么c=c′=3．然后可根據(jù)拋物線F的坐標(biāo)求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將D的坐標(biāo)代入拋物線F′中，即可求出拋物線F′的解析式，進(jìn)而可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）①與（1）的方法類似，在求出D的坐標(biāo)后，將D的坐標(biāo)代入拋物線F′中，即可得出關(guān)于b，b′的關(guān)系式即可得出b，b′的比例關(guān)系．
②探究四邊形OABC的形狀，無(wú)非是平行四邊形，菱形，矩形這幾種．那么首先要證的是四邊形OABC是個(gè)平行四邊形，已知了OA∥BC，只需看A，B的縱坐標(biāo)是否相等，即OA是否與BC的長(zhǎng)相等．根據(jù)拋物線F的解析式可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法可求出OP所在直線的解析式．進(jìn)而可求出拋物線F與直線OP的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后判斷B的縱坐標(biāo)是否與A點(diǎn)相同，如果相同，則四邊形OABC是矩形（∠AOC=90°），如果B，A點(diǎn)的縱坐標(biāo)不相等，那么四邊形AOCB是個(gè)直角梯形．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的平移變換、探究矩形的構(gòu)成情況等重要知識(shí)點(diǎn)．