Question

9．如圖，點P是菱形ABCD中對角線AC上的一點，且PE=PB．
（1）求證：PE=PD；
（2）求證：∠PDC=∠PEB；
（3）若∠BAD=80°，連接DE，試求∠PDE的度數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質得出AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，由SAS證明△CDP≌△CBP，得出PB=PD，再由PE=PB，即可得出結論；
（2）由等腰三角形的性質得出∠PBC=∠PEB，由全等三角形的性質得出∠PDC=∠PBC，即可得出∠PDC=∠PEB；
（3）由四邊形內角和定理得出∠DPE=100°，由等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可得出結果．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，
在△DCP和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}&{\;}\\{∠DCP=∠BCP}&{\;}\\{PC=PC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△CBP（SAS），
∴PB=PD，
∵PE=PB，∴PE=PD；
（2）證明：∵PE=PB，
∴∠PBC=∠PEB，
∵△CDP≌△CBP，
∴∠PDC=∠PBC，
∴∠PDC=∠PEB；
（3）解：如圖所示：
∠PDE=40°；理由如下：
在四邊形DPEC中，
∵∠DPE=360°-（∠PDC+∠PEC+∠DCB）
=360°-（∠PEB+∠PEC+∠DCB）
=360°-（180°+80°）
=100°，
∵PE=PD
∴∠PDE=∠PED=40°．

點評 本題考查了菱形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質；熟練掌握菱形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．