Question

1．在平面直角坐標系xOy中，已知點A的坐標為（0，-1），點C（m，0）是x軸上的一個動點．

（1）如圖1，△AOB和△BCD都是等邊三角形，當點C在x軸上運動到如圖所示位置時，連接AD，請證明△ABD≌△OBC；
（2）如圖2，△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，當點C在x軸上運動（m＞1）時，設點D的坐標為（x，y），請?zhí)角髖與x之間的函數關系式；
（3）如圖3，四邊形ACEF是正方形，當點C在x軸上運動（m＞1）時，設點E的坐標為（x，y），請?zhí)角髖與x之間的函數關系式．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質得到AB=OB，BD=BC，∠ABO=∠DBC=60°，從而判斷出∠ABD=∠OBC即可；
（2））由△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，得出$\frac{AO}{AB}=\frac{AD}{AC}$，從而得到三角形相似，即可；
（3）由DG∥EH，得到$\frac{AD}{AE}=\frac{AG}{AH}$=$\frac{DG}{EF}$，再利用正方形的性質即可．

解答 解：（1）∵△AOB和△BCD都是等邊三角形，
∴AB=OB，BD=BC，∠ABO=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠OBC，
在△ABD和△OBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=OB}\\{∠ABD=∠OBC}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABD和△OBC，
（2）∵△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，
∴$\frac{AO}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∵∠OAD=∠BAC，
∴△AOD∽△ABC，
∴∠AOD=∠ABC=135°為定值，
∴y與x之間的關系是y=x，
（3）如圖，

連接AE，CF交于點D，設D（a，a），過點D作DG⊥y軸，過點E作EH⊥y軸于H，
∴DG∥EH，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AG}{AH}$=$\frac{DG}{EF}$，
∵點D是正方形ACEF的對角線交點，
∴AD=ED=$\frac{1}{2}$AE，
∴AG=a+1，AH=2a+2，DG=a，EH=2a，
∴OH=2a+1，
∴y=2a+1，x=2a，
∴y=x+1．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形，等腰直角三角形的性質，三角形的相似和全等的性質和判定，解本題的關鍵是判定三角形相似．