Question

13．如圖1，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，BD與CE所在的直線(xiàn)交于點(diǎn)F．
（1）如圖（2）所示，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)角不大于60°，∠CFB的度數(shù)是多少？說(shuō)明你的理由？
（2）當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，若△BCF為直角三角形，線(xiàn)段BF的長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC=AB，∠EAD=∠CAB=60°，由點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，得到AE=AD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠EAC=∠BAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACE=∠ABD，推出A，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；
（2）解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∠CFB=60°，
理由：∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB，∠EAD=∠CAB=60°，
∵點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，
∴AE=AD，
∵將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，BD與CE所在的直線(xiàn)交于點(diǎn)F，
∴∠EAC=∠BAD，
在△ACE與△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAC=∠DAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABD，
∴∠ACE=∠ABD，
∴A，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，
∴∠CFB=∠CAB=60°；

（2）∵∠CFB=60°，∠BCF=90°，
∴∠CBF=30°，
∴BF=$\frac{BC}{cos30°}$=$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4$\sqrt{3}$．
∵∠CFB=60°，∠CBF=90°，
∴BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=2$\sqrt{3}$．
故答案為：4$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．