Question

某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：

●操作發(fā)現(xiàn)：

在等腰△ABC中，AB＝AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則下列結(jié)論正確的是________(填序號(hào)即可)

①AF＝AG＝AB；②MD＝ME；③整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形；④∠DAB＝∠DMB．

●數(shù)學(xué)思考：

在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程；

●類比探索：

在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀．

答：________．

Answer 1

答案：
解析：

[答案]解：●操作發(fā)現(xiàn)：①②③④ 　　●數(shù)學(xué)思考： 　　答：MD＝ME，MD⊥ME， 　　1、MD＝ME； 　　如圖2，分別取AB，AC的中點(diǎn)F，G，連接DF，MF，MG，EG， 　　∵M是BC的中點(diǎn)， 　　∴MF∥AC，MF＝AC． 　　又∵EG是等腰Rt△AEC斜邊上的中線， 　　∴EG⊥AC且EG＝AC， 　　∴MF＝EG． 　　同理可證DF＝MG． 　　∵MF∥AC， 　　∴∠MFA＋∠BAC＝180°． 　　同理可得∠MGA＋∠BAC＝180°， 　　∴∠MFA＝∠MGA． 　　又∵EG⊥AC，∴∠EGA＝90°． 　　同理可得∠DFA＝90°， 　　∴∠MFA＋∠DFA＝∠MGA＝∠EGA， 　　即∠DFM＝∠MEG，又MF＝EG，DF＝MG， 　　∴△DFM≌△MGE(SAS)， 　　∴MD＝ME． 　　2、MD⊥ME； 　　證法一：∵MG∥AB， 　　∴∠MFA＋∠FMG＝180°， 　　又∵△DFM≌△MGE，∴∠MEG＝∠MDF． 　　∴∠MFA＋∠FMD＋∠DME＋∠MDF＝180°， 　　其中∠MFA＋∠FMD＋∠MDF＝90°， 　　∴∠DME＝90°． 　　即MD⊥ME； 　　證法二：如圖2，MD與AB交于點(diǎn)H， 　　∵AB∥MG， 　　∴∠DHA＝∠DMG， 　　又∵∠DHA＝∠FDM＋∠DFH， 　　即∠DHA＝∠FDM＋90°， 　　∵∠DMG＝∠DME＋∠GME， 　　∴∠DME＝90° 　　即MD⊥ME； 　　●類比探究 　　答：等腰直角三解形 　　[考點(diǎn)解剖]本題考查了軸對(duì)稱、三角形中位線、平行四邊形、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、全等、角的轉(zhuǎn)化等知識(shí)，能力要求很高． 　　[解題思路](1)由圖形的對(duì)稱性易知①、②、③都正確，④∠DAB＝∠DMB＝45°也正確；(2)直覺(jué)告訴我們MD和ME是垂直且相等的關(guān)系，一般由全等證線段相等，受圖1△DFM≌△MGE的啟發(fā)，應(yīng)想到取中點(diǎn)構(gòu)造全等來(lái)證MD＝ME，證MD⊥ME就是要證∠DME＝90°，由△DFM≌△MGE得∠EMG＝∠MDF，△DFM中四個(gè)角相加為180°，∠FMG可看成三個(gè)角的和，通過(guò)變形計(jì)算可得∠DME＝90°．(3)只要結(jié)論，不要過(guò)程，在(2)的基礎(chǔ)易知為等腰直角三解形． 　　[解答過(guò)程]略． 　　[方法規(guī)律]由特殊到一般，形變但本質(zhì)不變(仍然全等) 　　[關(guān)鍵詞]課題學(xué)習(xí)　全等　開放探究