Question

【題目】如圖，直線與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點(diǎn)E是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C兩點(diǎn)重合），△BEC面積記為S，S取何值時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E有且只有兩個(gè)？

（3）直線x=2交直線BC于點(diǎn)M，點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）當(dāng)S>3時(shí)對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)有且只有2個(gè).（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣3，﹣），（5，﹣），（﹣1，）．

【解析】

（1）先求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法，即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線EF交直線BC于點(diǎn)M，EF交x軸于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E在BC上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出△BEC的面積的最大值，此時(shí)存在3個(gè)點(diǎn)；當(dāng)面積大于3時(shí)，點(diǎn)E只能在BC的下方運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E有且只有兩個(gè)，即可解答；

（3）根據(jù)題意，先求出點(diǎn)A和點(diǎn)M的坐標(biāo)，以及點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解答；可分為三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)AM為對(duì)角線時(shí)；②當(dāng)AQ是對(duì)角線時(shí)；③當(dāng)MQ是對(duì)角線時(shí)；即可解決問(wèn)題.

解：（1）∵直線y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，0），

∵拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，

∴，

解得：，

∴；

（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線EF交直線BC于點(diǎn)M，EF交x軸于點(diǎn)F.

當(dāng)點(diǎn)E在直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（x，），

則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，），

∴EM＝﹣（）＝，

∴S△BEC＝S△BEM+S△MEC

＝

＝

＝

＝；

∵，

∴當(dāng)x＝2時(shí)，即點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，3）時(shí)，△BEC的面積最大，最大面積是3．

∴當(dāng)S>3時(shí)對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)有且只有2個(gè)；

（3）根據(jù)題意，拋物線的解析式為：，

∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：，

∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1；

當(dāng)時(shí)，代入直線方程，得：，

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為：（，），

令，解得：或，

∴點(diǎn)A為，點(diǎn)C為（4，0）；

∵由以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，有以下情況：

①當(dāng)AM為對(duì)角線時(shí)，如圖：

此時(shí)AM中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：（，），

∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，

把代入拋物線得：，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為：（，）；

②當(dāng)AQ是對(duì)角線時(shí)，如圖：

此時(shí)AQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，

∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為；

把代入拋物線得：，

∴點(diǎn)P為：（，）；

③當(dāng)MQ是對(duì)角線時(shí)，如圖：

此時(shí)MQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，

∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為5；

把代入拋物線解析式得：，

∴點(diǎn)P為：（，）；

綜合上述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（﹣1，）或（﹣3，）或（5，）．