【題目】定義:我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“朋友三角形”.
性質(zhì):“朋友三角形”的面積相等.
如圖1,在△ABC中,CD是AB邊上的中線.
那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”,并且S△ACD=S△BCD .
應(yīng)用:如圖2,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=AD=4,BC=6,點(diǎn)E在BC上,點(diǎn)F在AD上,BE=AF,AE與BF交于點(diǎn)O.
(1)求證:△AOB和△AOF是“朋友三角形”;
(2)連接OD,若△AOF和△DOF是“朋友三角形”,求四邊形CDOE的面積.
拓展:如圖3,在△ABC中,∠A=30°,AB=8,點(diǎn)D在線段AB上,連接CD,△ACD和△BCD是“朋友三角形”,將△ACD沿CD所在直線翻折,得到△A′CD,若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的 ,則△ABC的面積是(請直接寫出答案).
【答案】
(1)
證明:∵AD∥BC,
∴∠OAF=∠OEB,
在△AOF和△EOB中, ,
∴△AOF≌△EOB(AAS),
∴OF=OB,
則AO是△ABF的中線.
∴△AOB和△AOF是“朋友三角形”
(2)8或8
【解析】(2)解:∵△AOF和△DOF是“朋友三角形”,
∴S△AOF=S△DOF ,
∵△AOF≌△EOB,
∴S△AOB=S△EOB ,
∵△AOB和△AOF是“朋友三角形”
∴S△AOB=S△AOF ,
∴S△AOF=S△DOF=S△AOB=S△EOB , = ×4×2=4,
∴四邊形CDOE 的面積=S梯形ABCD﹣2S△ABE= ×(4+6)×4﹣2×4=12;
拓展:解:分為兩種情況:①如圖1所示:
∵S△ACD=S△BCD .
∴AD=BD= AB=4,
∵沿CD折疊A和A′重合,
∴AD=A′D= AB= ×8=4,
∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的 ,
∴S△DOC= S△ABC= S△BDC= S△ADC= S△A′DC ,
∴DO=OB,A′O=CO,
∴四邊形A′DCB是平行四邊形,
∴BC=A′D=4,
過B作BM⊥AC于M,
∵AB=8,∠BAC=30°,
∴BM= AB=4=BC,
即C和M重合,
∴∠ACB=90°,由勾股定理得:AC= =4 ,
∴△ABC的面積= ×BC×AC= ×4×4 =8 ;
②如圖2所示:
∵S△ACD=S△BCD .
∴AD=BD= AB,
∵沿CD折疊A和A′重合,
∴AD=A′D= AB= ×8=4,
∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的 ,
∴S△DOC= S△ABC= S△BDC= S△ADC= S△A′DC ,
∴DO=OA′,BO=CO,
∴四邊形A′BDC是平行四邊形,
∴A′C=BD=4,
過C作CQ⊥A′D于Q,
∵A′C=4,∠DA′C=∠BAC=30°,
∴CQ= A′C=2,
∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2× ×A′D×CQ=2× ×4×2=8;
即△ABC的面積是8或8 ;
所以答案是:8或8 .
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【題目】如圖,一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,與一次函數(shù)y2=x的圖象交于點(diǎn)M,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2,過點(diǎn)P(a,0),作x軸的垂線,分別交函數(shù)y=kx+b和y=x的圖象于點(diǎn)C、D.
(1)求一次函數(shù)y1=kx+b的表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)M是線段OD的中點(diǎn),求a的值.
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A. (﹣3,2) B. (﹣1,2) C. (1,2) D. (1,﹣2)
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A.k<1
B.k≤1
C.k>﹣1
D.k>1
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