Question

【題目】如圖，直線y=kx+b過點(diǎn)A（5，0）和點(diǎn)C，反比例函數(shù)y=（x＜0）過點(diǎn)D，作BD∥x軸交y軸于點(diǎn)B（0，﹣3），且BD=OC，tan∠OAC=．

（1）求反比例函數(shù)y=（x＜0）和直線y=kx+b的解析式；

（2）連接CD，判斷線段AC與線段CD的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=，y=﹣x+2；（2）AC⊥CD.

【解析】分析：（1）由A點(diǎn)坐標(biāo)可求得OA的長，再利用三角函數(shù)的定義可求得OC的長，可求得C、D點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式；

（2）由條件可證明△OAC≌△BCD，再由角的和差可求得∠OAC+∠BCA=90°，可證得AC⊥CD．

詳解：（1）∵A（5，0），∴OA=5．

∵tan∠OAC==．

解得：OC=2，∴C（0，2），∴BD=OC=2．

∵B（0，﹣3），BD∥x軸，∴D（﹣2，﹣3），∴m=﹣2×（﹣3）=6，∴y=．

設(shè)直線AC關(guān)系式為y=kx+b．

∵過A（5，0），C（0，2），∴，

解得：，∴y=﹣+2；

（2）∵B（0，﹣3），C（0，2），∴BC=5=OA．

∵x軸⊥y軸，∠AOC=∠COE=90°，BD∥x軸，

∴∠COE=∠DBC=90°，∴∠AOC=∠DBC．

在△OAC和△BCD中，

∴△OAC≌△BCD（SAS），

∴AC=CD，∴∠OAC=∠BCD，

∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，

∴AC⊥CD．