Question

【題目】如圖，點A、B分別位于x軸負、正半軸上，OA、OB﹙OA＜OB﹚的長分別是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的兩根，C（0，3），且S△ABC=6．

（1）求線段AB的長；

（2）求∠ABC的度數(shù)；

（3）過點C作CD⊥AC交x軸于點D，求點D的坐標；

（4）y軸上是否存在點P，使∠PBA=∠ACB？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）45°；（3）D（9，0）；（4）（0，﹣9）或（0，9）．

【解析】試題分析：（1）由點C的坐標確定出OC的長，根據(jù)三角形ABC面積求出AB的長即可；

（2）根據(jù)OA、OB﹙OA＜OB﹚的長分別是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的兩根，表示出OA+OB，即為AB的長，進而求出m的值，確定出方程，求出解得到A與B坐標，得到三角形OBC為等腰直角三角形，即可求出∠ABC的度數(shù)；

（3）如圖1所示，作CD⊥AC，交x軸于點D，根據(jù)同角的余角相等及一對公共角，得到三角形AOC與三角形COD相似，由相似得比例求出OD的長，即可確定出點D的坐標；

（4）y軸上存在點P，使∠PBA=∠ACB，理由為：y軸上存在點P，使∠PBA=∠CAB，如圖2所示，過點B作PB∥AC，設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，把點A和點C坐標代入求出k與b的值，確定出直線AC解析式，進而求出直線PB解析式，求出點P坐標，再利用對稱性求出點P′坐標即可．

試題解析：（1）∵點C（0，3），

∴OC=3，

∵S△ABC=6，

∴×AB×OC=6，

∴AB=4；

（2）∵OA、OB﹙OA＜OB﹚的長分別是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的兩根，

∵OA+OB=4m，

∴4m=4，即m=1，

∴方程可化為：x2﹣4x+3=0，

解得：x1=1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°；

（3）如圖1所示，作CD⊥AC，交x軸于點D，

∵∠AOC=∠ACD=90°，

∴∠CAO+∠ACO=90°，∠ACO+∠DCO=90°，

∴∠CAO=∠DCO，

∴△AOC∽△COD，

∴

∴OD==9，

∴D（9，0）；

（4）y軸上存在點P，使∠PBA=∠CAB，如圖2所示，

過點B作PB∥AC，

設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，

把A（﹣1，0），C（0，3）代入得：

，

解得： ，

∴直線AC的解析式為：y=3x+3，

設(shè)直線PB解析式為y=3x+b，

把B（3，0）代入得：0=9+b，即b=﹣9，

∴直線PB的解析式為：y=3x﹣9，

∴P點的坐標為（0，﹣9），根據(jù)對稱性得P′（0，9），

則y軸上存在點P，使∠PBA=∠ACB，此時P坐標為（0，﹣9）或（0，9）．