(2010•普陀區(qū)一模)已知△ABC為等邊三角形,AB=6,P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與A、B不重合),過點(diǎn)P作AB的垂線與BC相交于點(diǎn)D,以點(diǎn)D為正方形的一個(gè)頂點(diǎn),在△ABC內(nèi)作正方形DEFG,其中D、E在BC上,F(xiàn)在AC上,
(1)設(shè)BP的長為x,正方形DEFG的邊長為y,寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域;
(2)當(dāng)BP=2時(shí),求CF的長;
(3)△GDP是否可能成為直角三角形?若能,求出BP的長;若不能,請說明理由.

【答案】分析:(1)在△BDP中,根據(jù)已知條件得BD=2x,在△CEF中,根據(jù)已知條件得EC=,得y關(guān)于x的函數(shù)解析式.再求出x的定義域.
(2)BP=2,根據(jù)(2)得到的y關(guān)于x的函數(shù)解析式求出CF的長.
(3)假設(shè)△GDP是直角三角形,得△APF是直角三角形,得PF的x、y的函數(shù)解析式.再把(2)得到的關(guān)于x、y的函數(shù)解析式代入PF的函數(shù)解析式中,得到BP的長.
解答:解:(1)∵△ABC為等邊三角形,
∴∠B=∠C=60°,AB=BC=AC=6.(1分)
∵DP⊥AB,BP=x,
∴BD=2x.(1分)
又∵四邊形DEFG是正方形,
∴EF⊥BC,EF=DE=y,
.(1分)
,(2分)
.(1分)
(6-3≤x<3)(1分)

(2)當(dāng)BP=2時(shí),=.(1分)
.(1分)

(3)△GDP能成為直角三角形.(1分)
①∠PGD=90°時(shí),
,
得到:.(2分)
②∠GPD=90°時(shí),G在AB上,參照(1).
點(diǎn)評:此題是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的題目,主要考查等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、三角形相似、函數(shù)等知識.
難度很大,有利于培養(yǎng)同學(xué)們鉆研和探索問題的精神.
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(2)連接AB、AC、BC,求△ABC的面積;
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