Question

已知關于x的方程x²+2kx+k²+2k-2=0．
（1）若這個方程有實數(shù)根，求k的取值范圍；
（2）若以方程x²+2kx+k²+2k-2=0的兩個根為橫坐標、縱坐標的點恰在反比例函數(shù)的圖象上，求滿足條件的m的最小值．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數(shù)的關系,反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征

專題：

分析：（1）若一元二次方程有實數(shù)根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關于k的不等式，求出k的取值范圍．
（2）先設方程x²+2kx+k²+2k-2=0的兩個根為x₁，x₂，根據(jù)題意得出m=x₁•x₂，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得出x₁x₂=k²+2k-2，然后進行整理即可得出答案．

解答：解：（1）由題意得△=（2k）²-4×（k²+2k-2）≥0，
化簡得-4k+8≥0，
解得k≤1．

（2）設方程x²+2kx+k²+2k-2=0的兩個根為x₁，x₂，
根據(jù)題意得m=x₁•x₂，
又由一元二次方程根與系數(shù)的關系得x₁x₂=k²+2k-2，
那么m=k²+2k-2=（k+1）²-3，
所以，當k=-1時，m取得最小值-3．

點評：一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關系，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．