Question

【題目】尋找神奇點(diǎn)！每條拋物線內(nèi)都有一個(gè)神奇的點(diǎn)F（也叫焦點(diǎn)），還有一條與之配套的直線�。ㄒ步袦�(zhǔn)線），使得拋物線上的每個(gè)點(diǎn)到F的距離等于到直線l的距離．如圖，對于拋物線上任意一點(diǎn)D，都有DF＝DH．

根據(jù)以上知識，我們來完成以下問題：

（1）因?yàn)閽佄锞�是軸對稱圖形，由對稱性可知這個(gè)神奇的點(diǎn)F應(yīng)在拋物線的　 　上，且準(zhǔn)線l一定與對稱軸垂直即l⊥MN（對稱軸）．

（2）若準(zhǔn)線l與對稱軸MN交于E，MN交拋物線于點(diǎn)P，則PE、PF的數(shù)量關(guān)系是PE　 　PF（填＞、＝、＜），

（3）求拋物線y＝﹣（x﹣2）2+4的神奇點(diǎn)（焦點(diǎn)）F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）對稱軸；（2）＝；（3）點(diǎn)F（2，）．

【解析】

（1）拋物線是軸對稱圖形，則點(diǎn)F應(yīng)該在拋物線的對稱軸上，即可求解；

（2）根據(jù)題意中焦點(diǎn)的性質(zhì)解答即可；

（3）設(shè)PF＝c，則點(diǎn)F的坐標(biāo)和直線l的解析式可用含c的代數(shù)式表示，設(shè)D（m，），然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式分別表示出DF2和HD2，根據(jù)DF＝DH，可得關(guān)于m、c的方程，解方程即可求出c，進(jìn)而可得結(jié)果．

解：（1）拋物線是軸對稱圖形，則點(diǎn)F應(yīng)該在拋物線的對稱軸上，

故答案為：對稱軸；

（2）∵拋物線上的每個(gè)點(diǎn)到F的距離等于到直線l的距離，l⊥MN，∴PE=PF．

故答案為：＝；

（3）如圖，設(shè)PF＝c，頂點(diǎn)P（2，4），則點(diǎn)F（2，4﹣c），直線l：y＝c+4，

設(shè)D（m，），則DF2＝=，

HD2＝，

∵DF＝DH，∴=，

化簡得：1﹣2c＝2c，解得：c＝，

故點(diǎn)F（2，）．