Question

（2005•揚(yáng)州）若一個(gè)矩形的短邊與長(zhǎng)邊的比值為（黃金分割數(shù)），我們把這樣的矩形叫做黃金矩形．
（1）操作：請(qǐng)你在如圖所示的黃金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短邊AD為一邊作正方形AEFD；
（2）探究：在（1）中的四邊形EBCF是不是黃金矩形？若是，請(qǐng)予以證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）歸納：通過(guò)上述操作及探究，請(qǐng)概括出具有一般性的結(jié)論（不需要證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）只需在矩形的長(zhǎng)上截取AE=AD，DF=AD，連接EF即可；
（2）可以結(jié)合（1）中正方形的性質(zhì)求得矩形EBCF的寬與長(zhǎng)的比進(jìn)行分析；
（3）只要在黃金矩形中截取以矩形的短邊為邊長(zhǎng)的正方形后，剩下的仍然是黃金矩形．
解答：解：（1）如圖．

（2）探究：四邊形EBCF是矩形，而且是黃金矩形．
∵四邊形AEFD是正方形，
∴∠AEF=90°
∴∠BEF=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°
∴∠BEF=∠B=∠C=90°，
∴四邊形EBCF是矩形．
【方法1】設(shè)
∴
∴矩形EBCF是黃金矩形．
【方法2】設(shè)，
∴
∴矩形EBCF是黃金矩形．

（3）歸納：在黃金矩形內(nèi)以短邊為邊作一個(gè)正方形后，所得到的另外一個(gè)四邊形是矩形，而且是黃金矩形．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了正方形的性質(zhì)和黃金矩形的概念．