Question

7．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF=60°，CE=3cm，F(xiàn)C=1cm，求AB，BC的長(zhǎng)及ABCD面積．

Answer 1

分析 根據(jù)AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=60°，可以得到∠C的度數(shù)，由四邊形ABCD是平行四邊形可以得到∠B、∠D的度數(shù)，然后根據(jù)解直角三角形的相關(guān)知識(shí)可以求得AB、BC的長(zhǎng)，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)可以求得AE的長(zhǎng)，由平行四邊形的面積等于底乘以高，可以求得四邊形ABCD的面積．

解答 解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=60°，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠C=360°-∠AEC-∠EAF-∠AFC=120°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠C+∠B=180°，
∴∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∴AB=2BE，
設(shè)BE=a，則AB=2a，
∵CE=3cm，F(xiàn)C=1cm，
∴DF=2a-1，
又∵∠AFD=90°，∠D=60°，
∴∠DAF=30°，
∴AD=2DF=4a-2，
∵AD=BC=a+3，
解得a=$\frac{5}{3}$，
∴AB=2a=$\frac{10}{3}$，BC=a+3=$\frac{5}{3}+3=\frac{14}{3}$，
∵∠AEB=90°，AB=$\frac{10}{3}$，BE=$\frac{5}{3}$，
∴AE=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴平行四邊形ABCD的面積是：BC•AE=$\frac{14}{3}×\frac{5\sqrt{3}}{3}=\frac{70\sqrt{3}}{9}$，
即AB的長(zhǎng)是$\frac{10}{3}$cm，BC的長(zhǎng)是$\frac{14}{3}$cm，平行四邊形ABCD的面積是$\frac{70\sqrt{3}}{9}c{m}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平行四邊形的面積，30°角所對(duì)的直角邊和斜邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問(wèn)題．