Question

16．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=20cm，AB=8cm，BC=26cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始，沿AD邊，以2cm/秒的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始，沿CB邊，以3cm/秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．已知P、Q兩點(diǎn)分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問：
（1）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形PQCD是平行四邊形？存在，求出t值；不存在請(qǐng)說明理由．
（2）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形PQCD是直角梯形？存在，求出t值；不存在請(qǐng)說明理由．
（3）在某個(gè)時(shí)刻，四邊形PQCD可能是菱形嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）存在，根據(jù)對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形列出方程，解方程即可；
（2）存在，當(dāng)APQB為矩形時(shí)，四邊形PDQC為直角梯形，即AP=BQ；
（3）四邊形PQCD不可能是菱形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形進(jìn)行計(jì)算，比較鄰邊的長(zhǎng)度得到答案．

解答 解：（1）存在；
如圖1，當(dāng)PD=CQ時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形，

即20-2t=3t，
解得，t=4，
故當(dāng)t=4時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形；
（2）存在；
如圖2，當(dāng)AP=BQ時(shí)，四邊形PQCD為直角梯形，

即2t=26-3t
解得：t=5.2，
故當(dāng)t=5.2時(shí)，四邊形PQCD為直角梯形；
（3）四邊形PQCD不可能是菱形，
如圖3，作DE⊥BC于E，

則四邊形ABED為矩形，
∴DE=AB=8，EC=2，
∴CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
若四邊形PQCD是菱形，則四邊形PQCD是平行四邊形，
根據(jù)（1）得：t=4s，
∴PD=20-8=12（cm），
∴PD≠CD，
∴四邊形PQCD不可能是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是直角梯形和矩形的性質(zhì)以及平行四邊形、菱形的判定，掌握對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形、鄰邊相等的平行四邊形是菱形是就的關(guān)鍵．