Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸、y軸的正半軸上（OA＜OB）．且OA、OB的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩個(gè)根，線段AB的垂直平分線CD交AB于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P是直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求線段AB的長度：

（2）過動(dòng)點(diǎn)P作PF⊥OA于F，PE⊥OB于E，點(diǎn)P在移動(dòng)過程中，線段EF的長度也在改變，請求出線段EF的最小值：

（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)C、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且該正方形的邊長為AB長？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）；（3）存在，所求點(diǎn)M的坐標(biāo)為M1（4，11），M2（﹣4，5），M3（2，﹣3），M4（10，3）．

【解析】

（1）利用因式分解法解方程x2﹣14x+48＝0，求出x的值，可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB即可．

（2）證明四邊形PEOF是矩形，推出EF＝OP，根據(jù)垂線段最短解決問題即可．

（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，先求出BM的解析式為y＝x+8，設(shè)M（x，x+8），再根據(jù)BM＝5列出方程（x+8﹣8）2+x2＝52，解方程即可求出M的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，先求出AM的解析式為y＝x﹣，設(shè)M（x，x﹣），再根據(jù)AM＝5列出方程（x﹣）2+（x﹣6）2＝52，解方程即可求出M的坐標(biāo)．

解：（1）解方程x2﹣14x+48＝0，

得x1＝6，x2＝8，

∵OA＜OB，

∴A（6，0），B（0，8）；

在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，

∴AB＝＝＝10．

（2）如圖，連接OP．

∵PE⊥OB，PF⊥OA，

∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，

∴四邊形PEOF是矩形，

∴EF＝OP，

根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP的值最小，此時(shí)OP＝＝，

∴EF的最小值為．

（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)C、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且該正方形的邊長為AB長．

∵AC＝BC＝AB＝5，

∴以點(diǎn)C、P、Q、M為頂點(diǎn)的正方形的邊長為5，且點(diǎn)P與點(diǎn)B或點(diǎn)A重合．分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，易求BM的解析式為y＝x+8，設(shè)M（x，x+8），

∵B（0，8），BM＝5，

∴（x+8﹣8）2+x2＝52，

化簡整理，得x2＝16，

解得x＝±4，

∴M1（4，11），M2（﹣4，5）；

②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，易求AM的解析式為y＝x﹣，設(shè)M（x，x﹣），

∵A（6，0），AM＝5，

∴（x﹣）2+（x﹣6）2＝52，

化簡整理，得x2﹣12x+20＝0，

解得x1＝2，x2＝10，

∴M3（2，﹣3），M4（10，3）；

綜上所述，所求點(diǎn)M的坐標(biāo)為M1（4，11），M2（﹣4，5），M3（2，﹣3），M4（10，3）．