Question

在Rt△AOB中，AO=6，BO=8，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，PM⊥AO，以O(shè)為圓心OP為半徑畫⊙O．
（1）當(dāng)PM²=AM•OM時(shí)，求證：AB是⊙O的切線；
（2）當(dāng)P在運(yùn)動(dòng)的過程中，⊙O與線段AB交于另一點(diǎn)E，分別過P，E作AO的垂線如圖所示，求PM+EN的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由PM²=AM•OM，結(jié)合∠AMP=∠OMP，可證得△AMP∽△PMO，可得∠APM=∠POM，可得到∠APM+∠OPM=90°，可知AB為⊙O的切線；
（2）過O作OQ⊥AB于Q，則Q為PE中點(diǎn)，過Q作QR∥OB交AO于R，則R為MN中點(diǎn)，可知QR為梯形MNEP的中位線，易求得AQ再由AR：AQ=AO：AB，可求得QR，從而可求得PM+EN．

解答：（1）證明：∵PM⊥AO，
∴∠AMP=∠PMO，
∵PM²=AM•OM，
∴

AM

PM

=

PM

MO

，
∴△AMP∽△PMO，
∴∠APM=∠POM，
∴∠APM+∠OPM=∠POM+∠OPM=90°，
∴AB為⊙O的切線；
（2）解：如圖，過O作OQ⊥AB于Q，則Q為PE中點(diǎn)，過Q作QR∥OB交AO于R，則R為MN中點(diǎn)，

∴QR為梯形MNEP的中位線，
∴PM+NE=2QR，
又AO=6，BO=8，
∴AB=10，
∴OQ=

24

5

，
在Rt△AQO中由勾股定理可求得AQ=

18

5

，
∵QR∥OB，
∴

AQ

AB

=

QR

OB

，即

18 5

10

=

QR

8

，
解得QR=

72

25

，
∴PM+NE=

144

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)和判定及相似三角形的判定，在第（2）問中把PM+EN轉(zhuǎn)化為求QR的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．