【題目】矩形OABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(10,0)、C(0,3),直線 與BC相交于點(diǎn)D,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A、D兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)連接AD,試判斷△OAD的形狀,并說明理由.
(3)若點(diǎn)P是拋物線的對稱軸上的一個動點(diǎn),對稱軸與OD、x軸分別交于點(diǎn)M、N,問:是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、O、M為頂點(diǎn)的三角形與△OAD相似?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:由題意得,點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3,
∵點(diǎn)D在直線y= x上,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(9,3),
將點(diǎn)D(9,3)、點(diǎn)A(10,0)代入拋物線可得: ,
解得: ,
故拋物線的解析式為:y=﹣ x2+ x.
(2)
解:∵點(diǎn)D坐標(biāo)為(9,3),點(diǎn)A坐標(biāo)為(10,0),
∴OA=10,OD= =3 ,AD= = ,
從而可得OA2=OD2+AD2,
故可判斷△OAD是直角三角形.
(3)
解:①由圖形可得當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)N重合時能滿足△OPM∽△ODA,
此時∠POM=∠DOA,∠OPM=∠ODA,
故可得△OPM∽△ODA,OP= OA=5,
即可得此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,0).
②過點(diǎn)O作OD的垂線交對稱軸于點(diǎn)P′,此時也可滿足△P′OM∽△ODA,
由題意可得,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為5,代入直線方程可得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為 ,
故可求得OM= ,
∵∠OP′M+∠OMN=∠DOA+∠OMN=90°,
∴∠OP′M=∠DOA,
∴△P′OM∽△ODA,
故可得 = ,即 = ,
解得:MP′= ,
又∵M(jìn)N=點(diǎn)M的縱坐標(biāo)= ,
∴P′N= ﹣ =15,
即可得此時點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(5,﹣15).
綜上可得存在這樣的點(diǎn)P,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,0)或(5,﹣15).
【解析】(1)根據(jù)題意可得出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3,代入直線解析式可得出點(diǎn)D的橫坐標(biāo),從而將點(diǎn)D和點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可得出拋物線的解析式.(2)分別求出OA、OD、AD的長度,繼而根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷出△OAD是直角三角形.(3)①由圖形可得當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)N重合時能滿足△OPM∽△ODA,②過點(diǎn)O作OD的垂線交對稱軸于點(diǎn)P′,此時也可滿足△P′OM∽△ODA,利用相似的性質(zhì)分別得出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC的平分線BE和∠BAC的外角平分線AD相交于點(diǎn)P,分別交AC和BC的延長線于E,D.過P作PF⊥AD交AC的延長線于點(diǎn)H,交BC的延長線于點(diǎn)F,連接AF交DH于點(diǎn)G.則下列結(jié)論:①∠APB=45°;②PF=PA;③BD﹣AH=AB;④DG=AP+GH.其中正確的是( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)過某十字路口的汽車,它可能繼續(xù)直行,也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn),這三種可能性大小相同,現(xiàn)在兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口.
(1)請用“樹形圖”或“列表法”列舉出這兩輛汽車行駛方向所有可能的結(jié)果;
(2)求這兩輛汽車都向左轉(zhuǎn)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A,B兩地相距60km,甲、乙兩人從兩地出發(fā)相向而行,甲先出發(fā).圖中表示兩人離A地的距離s(km)與時間t(h)的關(guān)系,請結(jié)合圖象解答下列問題:
(1)表示乙離A地的距離與時間關(guān)系的圖象是 (填或);
(2)甲的速度是 km/h,乙的速度是 km/h;
(3)甲出發(fā)多少小時兩人恰好相距5km?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2= (x>0)的圖象交于A(1,6),B(a,2)兩點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)直接寫出y1≤y2時x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=1,且經(jīng)過點(diǎn)(﹣1,0),康康依據(jù)圖象寫出了四個結(jié)論:
①如果點(diǎn)(﹣ ,y1)和(2,y2)都在拋物線上,那么y1<y2;
②b2﹣4ac>0;
③m(am+b)<a+b(m≠1的實(shí)數(shù));
④ =﹣3.
康康所寫的四個結(jié)論中,正確的有( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為邊BC上的一點(diǎn),連接AD,過點(diǎn)C作AD的垂線,交過點(diǎn)B與邊AC平行的直線于點(diǎn)E,CE交邊AB于點(diǎn)F.
(1)求∠EBF的度數(shù);
(2)求證:△ACD≌△CBE;
(3)若AD平分∠BAC,判斷△BEF的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),將線段AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段AE,連接CD,BE.
(1)求證:∠AEB=∠ADC;
(2)連接DE,若∠ADC=105°,求∠BED的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知等邊△OAB的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y= (x>0)圖象上,當(dāng)?shù)冗叀鱋AB的頂點(diǎn)B在坐標(biāo)軸上時,求等邊△OAB頂點(diǎn)A的坐標(biāo)和△OAB的面積.
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