【題目】已知:在平面直角坐標(biāo)系中,軸負(fù)半軸上的點(diǎn),軸負(fù)半軸上的點(diǎn).

(1)如圖1,以點(diǎn)為頂點(diǎn)、為腰在第三象限作等腰,若,試求點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)如圖,若點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,以為頂點(diǎn),為腰作等腰.試問:當(dāng)點(diǎn)沿軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)且其他條件都不變時(shí),整式的值是否發(fā)生變化?若不發(fā)生變化,請(qǐng)求出其值;若發(fā)生變化,請(qǐng)說明理由;

(3)如圖,軸負(fù)半軸上的一點(diǎn),且于點(diǎn),以為邊作等邊,連接于點(diǎn),試探索:在線段、中,哪條線段等于的差的一半?請(qǐng)你寫出這個(gè)等量關(guān)系,并加以證明.

【答案】(1) C(-6,-2);(2)不發(fā)生變化,值為;(3EN=(EM-ON),證明見詳解.

【解析】

1)作CQOA于點(diǎn)Q,可以證明,由QC=AD,AQ=BO,再由條件就可以求出點(diǎn)C的坐標(biāo);

2)作DPOB于點(diǎn)P,可以證明,則有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n為定值,從而可以求出結(jié)論的值不變?yōu)?/span>.

3)作BHEB于點(diǎn)B,由條件可以得出1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以證明,則GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG,最后由平行線分線段成比例定理就可得出EN=(EM-ON).

1)如圖(1)作CQOAQ,

∴∠AQC=90°,

為等腰直角三角形,

AC=AB,CAB=90°,

∴∠QAC+∠OAB=90°,

∵∠QAC+∠ACQ=90°,

∴∠ACQ=BAO,

AC=AB,∠AQC=∠AOB,

(AAS),

CQ=AO,AQ=BO,

OA=2,OB=4,

CQ=2,AQ=4,

OQ=6,

C(-6,-2).

(2)如圖(2)作DPOB于點(diǎn)P,

∴∠BPD=90°,

是等腰直角三角形,

AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°,

∵∠OBD+∠BDP=90°,

∴∠ABO=∠BDP,

∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,

AO=BP,

∵BP=OB-PO=m-(-n)=m+n,

∵A,

OA=,

∴m+n=,

當(dāng)點(diǎn)B沿y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí),AO=BP=m+n=,

整式的值不變?yōu)?/span>.

3

證明:如圖(3)所示,在ME上取一點(diǎn)G使得MG=ON,連接BG并延長(zhǎng),交x軸于H.

為等邊三角形,

BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,

EO=MO,EBM=105°,∠1=30°,

∵OE=OB,

∴OE=OM=BM,

∴∠3=∠EMO=15°,

∴∠BEM=30°,∠BME=45°,

∵OF⊥EB,

∴∠EOF=∠BME,

,

BG=EN,

ON=MG,

∴∠2=∠3,

∴∠2=15°,

∴∠EBG=90°,

∴BG=EG,

EN=EG,

EG=EM-GM,

EN=(EM-GM),

EN=(EM-ON).

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……

(1)由此我們可以得到:

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2250+249+248++22+2+1

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