Question

（2013•瀘州）如圖，點(diǎn)P₁（x₁，y₁），點(diǎn)P₂（x₂，y₂），…，點(diǎn)P_n（x_n，y_n）在函數(shù)y=

1

x

（x＞0）的圖象上，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，…，△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，斜邊OA₁、A₁A₂、A₂A₃，…，A_n-1A_n都在x軸上（n是大于或等于2的正整數(shù)），則點(diǎn)P₃的坐標(biāo)是

（

3

+

2

，

3

-

2

）

；點(diǎn)P_n的坐標(biāo)是

（

n

+

n-1

，

n

-

n-1

）

（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：過點(diǎn)P₁作P₁E⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)P₂作P₂F⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)P₃作P₃G⊥x軸于點(diǎn)G，根據(jù)△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃都是等腰直角三角形，可求出P₁，P₂，P₃的坐標(biāo)，從而總結(jié)出一般規(guī)律得出點(diǎn)P_n的坐標(biāo)．

解答：解：過點(diǎn)P₁作P₁E⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)P₂作P₂F⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)P₃作P₃G⊥x軸于點(diǎn)G，
∵△P₁OA₁是等腰直角三角形，
∴P₁E=OE=A₁E=

1

2

OA₁，
設(shè)點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（a，a），（a＞0），
將點(diǎn)P₁（a，a）代入y=

1

x

，可得a=1，
故點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（1，1），
則OA₁=2a，
設(shè)點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（b+2，b），將點(diǎn)P₂（b+2，b）代入y=

1

x

，可得b=

2

-1，
故點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（

2

+1，

2

-1），
則A₁F=A₂F=

2

-1，OA₂=OA₁+A₁A₂=2

2

，
設(shè)點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為（c+2

2

，c），將點(diǎn)P₃（c+2

2

，c）代入y=

1

x

，可得c=

3

-

2

，
故點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為（

3

+

2

，

3

-

2

），
綜上可得：P₁的坐標(biāo)為（1，1），P₂的坐標(biāo)為（

2

+1，

2

-1），P₃的坐標(biāo)為（

3

+

2

，

3

-

2

），
總結(jié)規(guī)律可得：P_n坐標(biāo)為：（

n

+

n-1

，

n

-

n-1

）．
故答案為：（

3

+

2

，

3

-

2

）、（

n

+

n-1

，

n

-

n-1

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合，涉及了點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律變化，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)解析式求出P₁，P₂，P₃的坐標(biāo)，從而總結(jié)出一般規(guī)律，難度較大．